Exercice de mécanique – échelle appuyée, équations du mouvement et énergie.

Cet exercice traite de l’équilibre et du mouvement d’une échelle rigide sans frottement appuyée sur un mur et un sol. Les étudiants doivent appliquer le théorème du moment cinétique et celui du centre de masse pour établir les équations du mouvement. L’analyse des forces de réaction permet de relier la dynamique de l’angle d’inclinaison à la géométrie du problème. L’énergie mécanique est ensuite étudiée afin de vérifier sa conservation en l’absence de frottement. L’énoncé propose ainsi une combinaison de cinématique, dynamique et énergie mécanique. La résolution implique le calcul du moment en différents points, la décomposition des forces et l’identification des contraintes de contact. Cet exercice illustre comment combiner plusieurs théorèmes fondamentaux de la mécanique pour analyser un système simple mais représentatif.

Exercice de mécanique – collision avec ressort et centre de masse

Cet exercice traite de l’étude d’une collision entre deux plots reliés par un ressort sur un banc à air. Un des plots est initialement immobile tandis que l’autre arrive avec une vitesse donnée. Le ressort assure la liaison entre les deux masses et emmagasine l’énergie de déformation. La première question porte sur la conservation de la quantité de mouvement pour déterminer la vitesse commune après accrochage. La deuxième question analyse la compression du ressort en appliquant la conservation de l’énergie mécanique. La troisième question demande l’écriture des équations du mouvement à partir de la deuxième loi de Newton pour chaque plot. La quatrième question s’intéresse au mouvement global du centre de masse du système. L’énoncé permet de mettre en évidence la distinction entre conservation de la quantité de mouvement et dissipation de l’énergie cinétique. L’exercice illustre également l’importance des forces internes et du rôle du ressort comme stockage d’énergie. Il constitue un entraînement classique de mécanique des collisions et des systèmes à deux masses couplées.

Exercice de mécanique – Roue mal équilibrée, matrices d’inertie et moment cinétique.

Cet exercice étudie une roue dont l’axe n’est pas parfaitement équilibré. On projette la vitesse de rotation dans un repère d’inertie adapté à la géométrie. On écrit la matrice d’inertie dans ses axes principaux puis on calcule le moment cinétique. Le théorème du moment cinétique fournit le moment mécanique associé au déséquilibre. On effectue ensuite un changement de base vers un repère non principal. La nouvelle matrice d’inertie comporte des termes croisés qui compliquent les calculs. On recalcule le moment cinétique et le moment mécanique dans ce repère. On compare les deux expressions du moment et on constate qu’elles coïncident. Le résultat physique ne dépend pas du repère, seul change l’algèbre. 

L’exercice illustre l’intérêt d’utiliser les axes principaux d’inertie pour simplifier.

Exercice de mécanique – Charge sur cylindre, forces et équations du mouvement.

On étudie le mouvement d’une particule chargée contrainte à glisser sur la surface d’un cylindre.
Le référentiel choisi est inertiel et un repère cylindrique suit la particule.
La vitesse se décompose selon l’angle azimutal et l’axe du cylindre.
La force magnétique est parallèle au rayon du cylindre et dépend du produit charge, vitesse azimutale et champ.
La réaction normale maintient la particule sur la surface.
Le frottement cinétique, sans adhérence, s’oppose à la vitesse tangentielle et axiale.
On écrit les équations du mouvement dans les trois directions du repère cylindrique.
Les contraintes géométriques fixent le rayon et simplifient l’accélération.
On obtient un système couplant la dynamique angulaire et axiale via le frottement.
Le mouvement circulaire uniforme survient si la composante axiale est nulle et si la vitesse angulaire compense la force magnétique.

Balistique et parabole de sécurité

Cet exercice traite du mouvement d’un projectile soumis uniquement à la gravité. On commence par établir l’équation de la trajectoire en fonction de la distance horizontale et de l’angle de tir. Les calculs permettent de retrouver la portée maximale ainsi que la hauteur maximale atteinte par le projectile. L’étude conduit ensuite à déterminer la parabole de sécurité, qui définit la zone au-delà de laquelle le projectile ne peut se trouver. Cette courbe est obtenue en considérant l’ensemble des points atteignables en fonction de la vitesse initiale. L’analyse montre que l’axe de symétrie de la parabole est l’axe vertical, ce qui reflète la symétrie des tirs par rapport à l’angle de lancement. Enfin, l’exercice demande de démontrer qu’une certaine fonction reliant la vitesse et la position constitue une constante du mouvement. Cela illustre la conservation d’une grandeur associée aux équations du mouvement uniformément accéléré. L’ensemble met en évidence les liens entre trajectoires balistiques, optimisation de la portée et invariants dynamiques. La parabole de sécurité fournit ainsi un cadre théorique utile pour définir des zones protégées lors d’expériences balistiques.

Exercice de mécanique – L’accident et l’analyse cinématique

Cet exercice étudie un accident de la route à Lausanne, où une voiture dépasse la vitesse autorisée et percute un piéton. L’analyse s’appuie sur les traces de freinage, la distance avant le passage piéton et la position des débris. On modélise le freinage de la voiture par un mouvement rectiligne uniformément accéléré. La vitesse initiale et le temps de freinage sont calculés à partir de la longueur des traces. Les débris de verre suivent une trajectoire décrite par un mouvement rectiligne uniforme horizontal et une chute verticale. On utilise ces équations pour retrouver la vitesse au moment de l’impact et la position de collision. Le calcul montre que la voiture roulait bien au-delà de la limite légale. L’analyse de la trajectoire des débris révèle que le piéton traversait hors du passage réglementaire. La résolution combine cinématique horizontale et verticale pour confronter données théoriques et faits observés. La conclusion met en évidence une double responsabilité entre conducteur et piéton.

Exercice de mécanique – Snowboardeur : frottement, saut et décollage

Un snowboardeur part d’un premier point avec une vitesse donnée, subit un frottement constant et atteint un second point avec une vitesse plus faible.

Le travail du frottement sur la portion horizontale se calcule par force de contact fois distance, avec signe négatif car opposé au mouvement.

La baisse d’énergie cinétique entre départ et arrivée est égale à ce travail, ce qui donne la vitesse à l’arrivée.

Depuis le bord, le rider saute au-dessus du vide : la portée horizontale dépend de la vitesse d’attaque et du temps de chute fixé par la hauteur.

Dans la seconde partie, la pente est un quart de cercle, sans frottements : on choisit des coordonnées cylindriques liées au mouvement.

La réaction du sol résulte de la différence entre poids projeté le long du rayon et accélération centripète.

L’énergie mécanique se conserve sur l’arc, ce qui relie la vitesse locale à l’altitude.

Le décollage survient quand la réaction du sol devient nulle, ce qui fixe un angle mesuré le long du profil.

On en déduit une condition sur la vitesse d’entrée pour décoller dès le bord.

L’ensemble illustre le chaînage travail-énergie, la chute libre et la dynamique circulaire sans glissement.

Oscillations forcées à Gotham City

Un pendule modélise le mouvement de Batman suspendu à une corde soumise à une force sinusoïdale. L’équation différentielle du mouvement est établie dans l’approximation des petits angles. L’amplitude des oscillations est exprimée en fonction des paramètres de la force et de la fréquence excitatrice. La pulsation de résonance est identifiée comme la fréquence propre du système. Une discussion qualitative montre que pour éviter la résonance réelle, il est préférable de choisir une pulsation légèrement supérieure à la valeur critique. L’étude illustre la dynamique d’un pendule forcé sans frottement. L’ensemble met en évidence les notions de stabilité, d’approximation des petits angles et de résonance mécanique. L’oscillateur est étudié dans un cadre simplifié mais relié à une situation concrète.

SwissCube : mise en orbite et énergie des satellites

Cet exercice porte sur le satellite SwissCube placé en orbite circulaire. On calcule ses énergies potentielle, cinétique et totale à partir de la loi de la gravitation universelle. On analyse ensuite la situation initiale au sol en tenant compte de la vitesse due à la rotation de la Terre. La variation d’énergie nécessaire pour atteindre l’orbite dépend de la latitude du site de lancement, ce qui explique le choix stratégique de bases proches de l’équateur. Enfin, l’effet des frottements atmosphériques est étudié : la perte d’énergie conduit à une diminution progressive du rayon orbital tandis que la vitesse du satellite augmente. L’exercice illustre les principes fondamentaux de la mécanique céleste et des transferts d’énergie lors de la mise en orbite.

Modèle de collision entre solide indéformable et projectile

On étudie l’impact d’un petit projectile sur une cible formée de deux masses reliées par une barre rigide, le tout se déplaçant sans frottement dans un plan. Avant le choc, la quantité de mouvement totale est celle du projectile seul, la barre étant au repos. Le centre de masse après collision se situe entre les deux masses selon une proportion fixée par leurs valeurs. Le moment cinétique pris au centre de masse est conservé pendant l’impact, faute de moment extérieur. On exprime ce moment en fonction de la vitesse angulaire et de la répartition des masses. Dans la limite où la masse située au bout devient très grande, l’axe passe par ce point et la quantité de mouvement globale se transmet au système. Pour une masse finie, on déduit la vitesse angulaire en liant le moment cinétique avant et après le choc. Enfin, on calcule la quantité de mouvement de la masse embarquée après l’impact, à tout instant, à partir de la vitesse du centre de masse et de la rotation autour de celui-ci. L’exercice mobilise centres de masse, quantités de mouvement, moments cinétiques et cinématique du solide indéformable. Il illustre la cohérence entre lois de conservation et description géométrique du mouvement.

 Cinématique et moment cinétique

Une barre homogène tourne autour d’un axe passant par son centre dans un plan vertical. Simultanément, cet axe décrit une rotation autour d’un axe vertical fixe. On exprime la vitesse de rotation totale comme somme de deux contributions. Dans la base liée à la barre, on projette cette vitesse sur trois directions orthogonales. Le moment d’inertie est distinct selon l’axe de la barre et les axes perpendiculaires. On en déduit le moment cinétique au centre de masse sous forme vectorielle. Le moment cinétique au point fixe s’obtient par le théorème de transfert. La dérivée temporelle du moment cinétique sépare variation des composantes et rotation de base. On applique le théorème du moment cinétique pour trouver le couple extérieur requis. Le résultat relie le couple aux vitesses de rotation, aux moments d’inertie et à l’angle instantané.

Plan incliné avec frottement, poussée et traînée

Une masse glisse sur un plan incliné et est reliée par un fil à une seconde masse immergée. La première subit la pesanteur, la réaction et un frottement sec statique puis dynamique. La seconde subit la poussée d Archimède et un frottement visqueux proportionnel à la vitesse. On dresse les schémas de forces et on choisit des repères adaptés aux deux solides. On écrit les équations de Newton et on couple les inconnues par la tension et la géométrie. On trouve la condition minimale sur la masse du plan pour initier la descente. Quand le mouvement démarre, l’équation différentielle est du premier ordre avec terme source. La vitesse croît de façon exponentielle vers une vitesse limite fixée par la traînée et les poids. L accélération décroît exponentiellement vers zéro lorsque la vitesse limite est atteinte. Le résultat dépend des angles, des masses, de la poussée et du coefficient de frottement visqueux.

Pendule sur cube en rotation libre : forces d’inertie, équations du mouvement et analyse complète

Un cube tourne librement autour d’un axe vertical à vitesse variable. Un pendule est fixé à une arête et oscille sans frottement dans un plan vertical tangent. On choisit un repère cylindrique attaché au point matériel et un repère lié au cube. On établit le bilan des forces réelles et des réactions géométriques de guidage. On exprime les accélérations relative, de Coriolis, centrifuge et d’Euler. On calcule l’accélération du point d’attache dans le référentiel fixe de la salle. On projette chaque terme sur les trois directions du repère cylindrique. On assemble la relation entre accélération absolue et accélérations apparentes. On obtient l’équation différentielle du mouvement dans la direction normale au plan. On interprète la réaction comme la somme des effets inertiels et gravitationnels projetés.

Roto-vibrations : masse sur table et ressort — équations et analyse

Un point matériel glisse sans frottement sur une table horizontale. Il est relié à un point fixe par un ressort de longueur au repos nulle. On adopte le repère polaire centré au point fixe sur la table. Le diagramme des forces comprend la réaction normale et le ressort. La dynamique radiale oppose accélération centripète et rappel élastique. La dynamique azimutale impose la conservation du moment cinétique. L énergie mécanique est la somme des parties cinétique et potentielle. Le potentiel effectif inclut une barrière centrifuge liée à la rotation. La trajectoire reste fermée avec dilatations et rotations couplées. Le mouvement devient circulaire pour une vitesse angulaire caractéristique.

Lancer de ballon vertical — formules clés avec et sans frottement

Un ballon est lancé depuis le sol vers le haut. On choisit l axe vertical orienté vers le haut. Sans frottement l accélération est constante vers le bas. La vitesse diminue linéairement avec le temps. La position suit une parabole en fonction du temps. La hauteur maximale dépend du carré de la vitesse de départ. Avec frottement fluide la vitesse suit une décroissance exponentielle. La position résulte de l intégration de cette vitesse amortie. Le sommet de la trajectoire survient quand la vitesse devient nulle. Le temps du sommet augmente si le frottement diminue.

Boule sur bras tournant — frottement visqueux, amortissement et chute limite

Une boule est fixée au bout d un bras qui coulisse le long d une barre verticale. Le mouvement se fait dans une table des directions verticale et azimutale. Le frottement est visqueux en régime laminaire avec un temps d amortissement $\tau$. Selon la hauteur la vitesse décroît vers la vitesse limite dirigée vers le bas. Selon l azimut la rotation est amortie de façon exponentielle dans le temps. La pesanteur agit seulement sur la composante verticale du mouvement. Le bras a une longueur fixe et ne porte pas d inertie mécanique propre. La vitesse tangentielle diminue et tend vers zéro quand le temps augmente. La position verticale décroît de plus en plus lentement jusqu au régime établi. Au bout d un long temps la vitesse se stabilise vers la chute limite égale à g fois $\tau$.

Meule en rotation — forces de contact moment d inertie et précession

Une meule tourne autour d un axe vertical et roule sans glisser sur le sol. La roue est reliée à l axe par un bras horizontal léger de longueur donnée. Le mouvement impose une relation entre la rotation de la roue et celle du bras. Les forces extérieures sont la réaction du sol le poids et les efforts de l axe. Le centre de masse suit une trajectoire circulaire à vitesse angulaire constante. Le moment d inertie de la meule se combine avec le décalage du point d appui. Le moment cinétique pointe surtout selon l axe vertical avec une composante latérale. Sa dérivée traduit un couple dû à la précession imposée par la rotation autour de l’axe. La réaction normale du sol dépasse le poids lorsque la vitesse de rotation augmente. Le roulement sans glissement fixe la relation entre vitesses et rayons de trajectoire.

Métronome vertical sur demi cercle.

Un métronome est modélisé par un point qui glisse sur un demi cercle vertical. La masse est reliée à deux ressorts identiques qui coulissent sur l arc. Le poids se projette radialement et tangentiellement selon l angle. La somme des forces des deux ressorts agit uniquement selon la tangente. L énergie cinétique dépend du carré de la vitesse angulaire et du rayon. L énergie potentielle est la somme de la gravitation et de l élasticité. Le point d équilibre est au milieu du demi cercle face au sommet. Il est stable si la raideur de chaque ressort dépasse une valeur seuil. Au voisinage de l équilibre le mouvement est harmonique. La pulsation croît avec la raideur et décroît avec la gravité et la masse.

Pendulum on a Rotating Door — Forces, Equilibria, and Small-Angle Oscillations

A point mass hangs from a string on a door that rotates steadily. The motion is described in a spherical frame attached to the mass. String tension is purely radial and balances inertia and weight components Coriolis force appears tangent to the path in the rotating frame. Centrifugal force has radial and tangential parts along the sphere directions. The angular equation of motion couples gravity and door rotation. Equilibria exist at the downward angle and at a tilted angle when rotation is high. There is a critical angular speed that switches which equilibrium is stable. For small oscillations around the downward position the motion is harmonic. The phase of the cosine solution follows from initial angle and angular speed.

Ballistics with Linear Drag and Inelastic Collision — Distance, Impact Speed, Energy Loss, Rise Height

A projectile moves horizontally with linear air drag causing an exponential speed decay. The travel distance to the target links launch speed damping time and flight duration. Impact speed at the target follows a simple relation between launch speed distance and damping time. A totally inelastic hit conserves linear momentum but reduces kinetic energy. The energy loss equals the reduced mass times the square of the impact speed up to a factor. After impact the joined masses rise and convert kinetic energy into gravitational potential. The peak height depends only on the post-impact speed and gravity Angular momentum about the hinge just after impact equals lever arm times post-impact momentum with direction set by the right-hand rule. During the very short collision the external torque about the hinge is effectively zero. Once the system starts rising gravity provides a nonzero external torque and angular momentum changes.

Rolling Sphere on an Inclined Plane — Inertia, Rotation Equation, Energy, and Timing

A solid sphere rolls without slipping down an inclined plane. Its tangent axis moment of inertia uses the parallel axis theorem from the center. The rotation equation about the contact point balances gravity torque and spin inertia. This yields a constant angular acceleration proportional to gravity and the slope sine. Kinetic energy combines translation and rotation and scales with the square of angular speed. Rolling without slipping links center speed and spin and its time derivative links accelerations From constant angular acceleration the travel time over a given distance follows a square root law Linear momentum is not conserved because external forces act along the plane and normal to it Angular momentum is not conserved in general since external torques about fixed points are nonzero Choosing the contact point eliminates unknown friction in the torque balance during pure rolling

Point matériel sur un cône — équations du mouvement, moment cinétique, énergie

Le point matériel se déplace sans frottement à l’intérieur d’un cône fixe. On travaille en coordonnées sphériques avec angle du cône constant. Les forces sont le poids décomposé et la réaction normale de la paroi. Les équations scalaires proviennent des projections radiale polaire et azimutale. La contrainte géométrique fixe l’angle polaire et couple rayon et vitesse angulaire. Le moment cinétique est porté par la direction polaire et sa norme est constante. L’énergie mécanique regroupe l’énergie cinétique radiale et azimutale et le potentiel gravitationnel. Quand l’angle azimutal est constant le rayon suit une chute uniformément accélérée projetée. La réaction normale s’obtient via la projection polaire de la dynamique Le schéma des forces et la cinématique sphérique suffisent pour tout établir

Oscillateur dans un train — forces d inertie équations du mouvement et périodes

Le train accélère horizontalement avec accélération constante. Un point est suspendu à un ressort de longueur repos négligeable. On travaille dans le repère du train en coordonnées polaires planes La force apparente de translation s ajoute aux forces réelles. Les équations du mouvement se projettent radialement et azimutalement. L angle stationnaire vérifie tangente égale accélération sur gravité La position radiale d équilibre combine poids ressort et translation. Autour de l équilibre radial le mouvement est harmonique pur. Si le rayon est constant et sans accélération le pendule oscille La période des petites oscillations vaut deux pi fois racine de rayon sur gravité.

Système pendule et ressorts — équilibres stabilité et petites oscillations

Le système réunit un pendule simple et deux ressorts horizontaux identiques. On étudie l énergie potentielle totale gravité plus élasticité. Les ressorts sont détendus lorsque l angle est nul. Les positions d équilibre résultent des extrema de l énergie potentielle. L angle nul est toujours un équilibre stable. L angle opposé est stable seulement si la raideur dépasse le poids réduit. Deux équilibres en hauteur existent mais restent instables. La stabilité se vérifie par la dérivée seconde positive de l énergie. Autour de l angle nul le mouvement est harmonique. La pulsation des petites oscillations combine gravité et ressorts

Billes oscillant dans un tube — équations du mouvement, centre de masse et énergie

Deux billes reliées par un ressort glissent dans un tube incliné. Le mouvement est unidimensionnel le long de l axe du tube. Les équations de Newton se projettent pour chaque bille sur la même droite La composante du poids entraîne le centre de masse avec une accélération constante. Les forces de ressort internes se compensent dans l équation du centre de masse. La coordonnée relative suit un oscillateur harmonique autour de la longueur à vide. Les conditions initiales opposées donnent une évolution cosinus pour l écart. L énergie potentielle totalise un terme gravitation linéaire et un terme élastique quadratique. L énergie cinétique se sépare en partie centre de masse et partie relative avec masse réduite. Le moment cinétique au point A vaut bras de levier fois masse totale fois vitesse du centre et pointe hors du plan

Phénomènes des marées explication mécanique newtonienne

Terre et Lune forment un système en orbite autour de leur centre de masse. La gravité lunaire varie sur la Terre et crée des forces différentielles. Une force d inertie apparaît dans le référentiel lié à la Terre. La combinaison gravité lunaire et force centrifuge produit deux marées. Le centre de masse du système est situé à l intérieur de la Terre. Terre et Lune décrivent des cercles de même période autour de ce centre. La vitesse angulaire commune découle de l équilibre centripète et gravitaire Dans le référentiel terrestre on ajoute les forces d inertie aux forces réelles La force totale sur un point de la surface possède une composante radiale et une composante alignee Terre Lune. Les maxima de la composante tangentielle expliquent les deux bourrelets d eau opposés

Tube en rotation avec ressort exercice corrigé mécanique.

La bille se déplace dans un tube incliné qui tourne à vitesse constante. Le mouvement est décrit en coordonnées sphériques liées au point matériel. Les composantes d accélération dépendent du rayon et de l angle fixe du tube. Les forces en jeu sont gravité ressort et réaction normale du tube. La réaction normale se décompose le long des directions transverses du tube. L équilibre radial existe quand rappel du ressort gravité et effet de rotation se compensent. La stabilité impose que l effet ressort domine l effet centrifuge projeté. Autour de l équilibre le mouvement radial est harmonique si la condition de stabilité est satisfaite. L énergie mécanique regroupe énergie cinétique translation et rotation et énergies potentielles. L énergie est constante seulement si la bille est immobile dans le repère du tube

Roue en rotation uniforme et précession

Cet exercice étudie la dynamique d’une roue de vélo en rotation uniforme autour d’un axe incliné. La roue, de masse donnée, est soumise à un couple qui permet de maintenir un mouvement de précession constant. Les tenseurs d’inertie sont exprimés en deux points, au centre de masse et à l’axe de rotation. L’objectif est de calculer le moment qu’il faut exercer pour conserver le mouvement imposé. L’analyse utilise le repère d’inertie et la décomposition du vecteur vitesse angulaire. Le moment cinétique est établi au point d’application choisi, puis la relation de Poisson est appliquée. Le théorème du moment cinétique permet d’obtenir l’expression finale du couple en fonction des paramètres de masse, d’inertie et de géométrie. Le rôle de la pesanteur est discuté et retrouvé dans le bilan global par l’application du théorème du centre de masse. L’exercice illustre la subtilité entre forces appliquées et moments inertiels dans la mécanique des solides en rotation.

On modélise une étoile massive et une exoplanète plus légère en interaction gravitationnelle, l’étoile restant au centre du système. L’exoplanète décrit une orbite circulaire uniforme dont la vitesse angulaire est fixée par la loi de Kepler. Une sonde se déplace uniquement sur l’axe reliant les deux astres, avec une masse négligeable qui n’influence pas leurs trajectoires. Dans le référentiel en rotation où les astres apparaissent immobiles, on doit inclure les forces d’inertie. La force centrifuge agit radialement, tandis que la gravité stellaire et planétaire agissent en sens opposés. La force de Coriolis apparaît perpendiculairement au mouvement et peut être compensée par un moteur latéral. L’équation radiale traduit l’équilibre entre ces contributions et détermine l’accélération de la sonde. Le point de Lagrange L1 correspond à une position d’équilibre stable située près de l’exoplanète. La sphère de Hill définit la région d’influence gravitationnelle de l’exoplanète par rapport à l’étoile. La vitesse minimale de décollage depuis la surface planétaire découle de la conservation de l’énergie mécanique.