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Série 1

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Analyse – Etude de fonctions Test d’aptitude – Série 1 Tous les exercices sont basés sur le contenu du cours de mathématiques (niveau renforcé) du programme de la maturité suisse. En utilisant uniquement la définition de limite, montrer que a. Si a n = 1 + n1 , n ≥ 1, alors limn→∞ an = 1. , n ≥ 2, alors limn→∞ b n = 0. Calculer la limite, si elle existe, de la suite : On considère la suite (an ) définie par son terme général Montrer que cette suite est majorée en exhibant un majorant. Indication : Compter le nombre de termes dans la somme qui définit an , puis trouver un majorant commun pour chacun de ces termes. A l’aide du théorème des deux gendarmes, étudier la convergence de la suite suivante, lorsque A l’aide du théorème des deux gendarmes, montrer que la suite an = Indication : limn→∞ 1 + n1

Analyse – Etude de fonctions Test d’aptitude – Série 1 Soit r ̸= 1. Montrer la formule ci-dessous, par récurrence sur n ≥ 1 : 1+r +r 2 +···+r n = On place une infinité de cailloux dans un sac, les uns après les autres, où chaque caillou pèse le tiers du caillou précédent. Quand on a placé tous les cailloux, le sac pèse 5 kilos. Combien pèse le Déterminer la parité des fonctions suivantes : a. f (x) = x x 2 + px + q , p, q ∈ R b. g (x) = | sin x| + cos 2x c. h(x) = tan2 x2 + x |x| Esquisser le graphe des fonctions suivantes, puis en déduire leur ensemble de définition et leur a. a(x) = |2x + |x − 2||, b. b(x) = x 3|x|+x si x ̸= 0 et b(0) = 2. On considère la fonction f : R → R définie par Montrer que f n’est pas surjective, puis restreindre son ensemble d’arrivée de sorte qu’elle le devienne. On considère la fonction f : R → R, définie par f (x) = x(2 − x). Déterminer Im f , puis un intervalle A tel que f : A → Im f soit bijective. En déduire alors sa fonction réciproque. Enfin, esquisser les graphes de f et f −1 .

Analyse – Etude de fonctions Test d’aptitude – Série 1 Calculer la limite des fonctions suivantes lorsque x tend vers −∞. b. c(x) = x 2 8x 3 − 1 − 2x c. b(x) = x x 2 + 1 + x On considère l’équation : (m − 1)x 2 − 2(m + 1)x + 2m − 1 = 0. Pour quelles valeurs de m cette équation admet-elle deux racines x1 et x 2 vérifiant la relation : −6 < x 1 < 4 < x 2 ? Résoudre par rapport x ∈ R en fonction du paramètre réel m : (m + 2)2 x < 4((m + 2)x + 1) On considère l’équation : x 2 + (m − 2)x − (m + 3) = 0. Déterminer m pour que la somme des carrés des racines soit égale à 9 . Expliciter l’ensemble image des fonctions suivantes, analytiquement (sans faire appel à leurs graphes). a. f (x) = x 2 − 4x + 8,

Analyse – Etude de fonctions Test d’aptitude – Série 1 On considère les deux fonctions A(x) = ⌊x⌋ et a(x) = 16 − x 2 . Esquisser le graphe de la fonction A ◦ a . Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Justifier votre réponse brièvement par un raisonnement, ou un contre-exemple si possible. a. Les expressions f (x) = xx−4 et g (x) = x définissent la même fonction. b. Le graphe de la fonction g (x) = f (x +3) est obtenu à partir du graphe de f (x) par un décalage de 3 unités vers la droite. c. La somme de deux fonctions paires est paire. d. La somme de deux fonctions impaires est impaire. e. Le produit de deux fonctions paires est pair. f. Le produit de deux fonctions impaires est impair. a. Montrer que la fonction f (x) = x 2 , définie sur [−1, +∞[, n’est pas injective. b. Montrer que la fonction f (x) = x 2 , définie sur ]0, ∞[, est injective. c. Montrer que f : [1, 2] → [−1, 2], f (x) = x 2 − x n’est pas bijective. a. Montrer que la fonction f : R → R définie par f (x) = 3x+1 2 est bijective, et calculer sa réciproque. Sur un même repère cartésien, représenter les graphes de f et f −1 . b. Soit f : [0, 1] → [0, 1], f (x) = 1 − x 2 . Montrer que f est bijective et calculer sa réciproque. Sur un même repère cartésien, représenter les graphes de f et f −1 . On considère la fonction f (x) = x−1 ; déterminer M tel que x > M ⇒ | f (x) − 2| < ε. b. A l’aide de la définition de la limite d’une fonction, montrer que limx→+∞ x−1

Analyse – Etude de fonctions Test d’aptitude – Série 1 Calculer la limite des fonctions suivantes lorsque x tend vers −∞. b. c(x) = x 2 8x 3 − 1 − 2x En utilisant la définition de la limite d’une fonction, montrer que Calculer, si elle existe, la limite lim ¯sin x 3 ¯ · ⌊ 2 ⌋. Déterminer, si elles existent, les limites des fonctions suivantes en x0 . On considère la fonction rationnelle définie par où a et b sont des paramètres réels. a. Déterminer les conditions sur les paramètres a et b pour que limx→a f (x) existe. Donner alors la valeur de cette limite. b. Déterminer les conditions sur les paramètres a et b pour que f (x) diverge vers +∞ oy −∞

Analyse – Etude de fonctions Test d’aptitude – Série 1 a. La fonction f (x) = est-elle continue en x = 0 ? b. Montrer que la fonction f (x) = x − ⌊x 2 ⌋ est continue à droite en x = 2. est-elle continue en x = 0 ? Justifier votre réponse. Peut-on prolonger la fonction f (x) = x 2 sin x1 par continuité en x 0 = 0, de telle sorte que la prolongée fˆ soit dérivable en x 0 ? a. f est-elle dérivable à gauche en 1 ? dérivable à droite en 1 ? dérivable en 1 ? b. Esquisser le graphe de la fonction f . En utilisant la définition du nombre dérivé comme limite d’un rapport de Netwon, déterminer l’équation de la tangente t au graphe de f (x) = x12 en x0 = 2. En utilisant les règles de dérivation, calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes, en précisant leur ensemble de définition et celui de la fonction dérivée. a. a(x) = x 6 + 15 x 2 −

Analyse – Etude de fonctions Test d’aptitude – Série 1 a. Soient f et g dérivables en x0 et telles que f (x) ∼ g (x) au voisinage de x 0 . Prouver que f ′ (x 0 ) = g ′ (x 0 ). b. Montrer que la dérivée d’une fonction f : R → R paire dérivable est impaire. c. Montrer que la dérivée d’une fonction f : R → R impaire dérivable est paire. Déterminer les points de tangence T des tangentes issues de l’origine à la courbe d’équation  3 − x si x ≤ 1 On considère f : R → R, définie par f (x) = 1 2 a. Montrer que f vérifie les hypothèses du théorème des accroissements finis sur [0, 2], et en déduire qu’il existe c ∈]0, 2 [ tel que f (2) − f (0) = (2 − 0) f ′ (c). b. Déterminer toutes les valeurs de c . Étudier les limites suivantes. d. f (x) = sin(x) · ln(x), On considère la fonction g définie par Pour quelles valeurs du paramètre n ∈ N∗ la fonction g est-elle prolongeable par continuité on x = 0 ?

Analyse – Etude de fonctions Test d’aptitude – Série 1 A l’aide d’une feuille de carton carrée de côté a , on construit une boîte rectangulaire ouverte en découpant des carrés sur les angles et en pliant les rebords du domaine ainsi obtenu Comment faut-il couper la feuille pour que le volume de la boîte soit maximum ? Soit Σ une sphère de rayon r . Parmi tous les cônes de révolution tangents à Σ, (lec génératrices du cône et son disque de base sont tangents à Σ ), déterminer celui dont le volume est minimal. Étudier les fonctions suivantes. a. a(x) = x + 1 − x , c. c(x) = x 3 − 6x 2 + 9x . Pour les courbes paramétrées suivantes, déterminer : a. le point stationnaire et la tangente en ce point : b. les asymptotes, les tangentes horizontales et verticales :  y(t ) = 2t 2 − 16 Calculer la longueur des arcs définis paramétriquement ci-dessous :

Analyse – Etude de fonctions x(t ) = 2 cos t − cos(2t ) y(t ) = −2 sin t − sin(2t ) Test d’aptitude – Série 1 Calculer l’aire d’une sphère de rayon r . Étudier la convergence des intégrales impropres ci-dessous. Lorsqu’elles convergent, on donnera leur Soit la fonction I : N → [0, +∞[ définie par b. Montrer par récurrence que I (n) est finie pour tout n ≥ 0, en vérifiant que pour tout n ≥ 1, I (n) = n · I (n − 1) c. En déduire que I (n) = n! ∈ N pour tout n ∈ N. Résoudre les équations différentielles suivantes a. y ′ − 2x y = 0, b. y ′ + y + 2 = 0, c. y ′ + 2y = x 2 .

Analyse – Etude de fonctions Test d’aptitude – Série 1 On considère l’équation différentielle d’ordre deux : y · y ′′ + y ′ = 0. Vérifier que les deux fonctions y 1 (x) = 1 et y 2 (x) = x sont solutions de cette équation. La fonction y 1 (x) + y 2 (x) est-elle également solution ? Résoudre les deux équations différentielles suivantes a. y ′′ + 3y ′ − 10y = 0, y(0) = 0, y ′ (0) = 1 b. y ′′ + 3y ′ − 4y = x 2 . Résoudre l’équation différentielle

Série 2

Analyse 1 Test d’aptitude – Série 2 EPFL Tous les exercices sont basés sur le contenu du cours de mathématiques (niveau renforcé) du programme de la maturité suisse. Questions Exercice 1 En notant E l’ensemble des humains, P la propriété définie sur E < d’être mortel >, M l’ensemble associé à P et d ∈ E l’individu nommé Darwin, écrire les propositions ci-dessous, ainsi que leur négation, en langage propositionnel et en langage ensembliste. a. T : < Darwin est mortel >. b. T : < tout homme est mortel >. c. T : . Exercice 2 Ecrire, en langage quantifié, la négation des propositions P suivantes et déterminer si l’on a P ou (non P ) vrai. a. ∃x ∈ R, |x| = 0. p b. ∀x ∈ R, x = 3. c. ∀x ∈ R, x ̸= 0. d. ∃x ∈ R, x 2 − 2x + 2 = 0. Exercice 3 En utilisant la méthode directe, démontrer les propositions suivantes : a. Si n est un nombre pair alors n 2 + 1 est impair. b. Si n est un nombre impair alors n 2 − 1 est pair. c. Si n est un nombre impair alors n 2 + 2 est impair. d. Si n est un entier positif alors n 2 − n est pair. e. Si n est un entier positif alors n 3 − n est un multiple de 3 . Exercice 4 Ecrire l’énoncé contraposé des théorèmes suivants (on ne demande pas de démonstration). a. Soient ABC un triangle et D le milieu du côté AB . b. Si E est le milieu du côté AC alors DE est parallèle à BC . c. ∀a, b ∈ N∗ , si a ou b sont pairs alors ab est pair. d. ∀x ∈ R, x(x − 3) > 0 ⇒ x < 0 ou x > 3. e. ∀x ∈ R, x 2 − 1 < 0 ⇒ x < 1 et x > −1. 28/06/2026

1 Analyse 1 Test d’aptitude – Série 2 EPFL f. ∀n, m ∈ N, (m ≤ 3 et n ≤ 3) ⇒ m · n ̸= 15. g. ∀n, m ∈ N, m + n = 0 ⇒ m = 0 et n = 0. Exercice 5 Démontrer par récurrence : a. ∀n ∈ N∗ : S n = 1 + 2 + 3 + · · · + n = 12 n(n + 1). b. ∀n ∈ N∗ : S n = 2 + 4 + 6 + · · · + 2n = n(n + 1). c. ∀n ∈ N∗ : 5n + 5 < 5n+1 . d. ∀n ∈ N : 10n − 1 est un multiple de 0 . e. ∀n ∈ N : 22n + 2 est divisible par 3 . Exercice 6 Ecrire la négation des propositions P suivantes. Dans le cas où la proposition est fausse, donner un contre-exemple. a. ∀x ∈ R, x 2 = 9 ⇒ x = 3. b. ∀x, y ∈ R, x 2 = y 2 ⇒ x = y . c. ∀x ∈ R, x ≤ 2 ⇒ x ≤ 0. d. ∀x ∈ R, x ∈ R ⇒ x ∈ Q. Exercice 7 Soit E un ensemble. On considère la proposition suivante : ∀A, B, D ⊂ E , A ⊂ B ⇒ [B ∩ D = ; ⇒ A ∩ D = ;]. a. Ecrire l’énoncé contraposé de cette proposition. b. Démontrer cette proposition en utilisant la méthode de la contrapogee. Exercice 9 Résoudre en x : p(x) = mx 2 − 4x + 4 − m ≥ 0 en fonction du paramètre réel n . Exercice 10 On considère l’équation : x 2 + (m − 2)x − (m + 3) = 0. Déterminer m pour que la somme des carrés des racines soit égale à 9 . 28/06/2026

2 Analyse 1 Test d’aptitude – Série 2 EPFL Exercice 11 Résoudre en x ∈ R 3 2 x + x+3 > 2x Exercice 12 Résoudre dans R les deux équations suivantes : a. | − x + 4| = − x3 , b. ¯x 3 − 2x 2 − 4x + 3¯ = x 2 + 1 (x − 3). ¯ ¯ ¡ ¢ Exercice 14 Résoudre dans R l’équation suivante par rapport à la variable x en fonction du paramètre réel m . ¯ 2 ¯ ¯x − x(m + 3) + m ¯ = −x 2 − x Exercice 15 Dans le plan muni d’un repère cartésien (O, x, y), représenter les points de coordonnées (x, y) vérifiant |x| + |y| = 5 et 2x − 3y − 5 = 0 ½ |x| + |y| = 5 Puis résoudre algébriquement le système 2x − 3y − 5 = 0. Exercice 16 Simplifier les expressions suivantes où p et q sont des nombres réels strictement positifs. £ b. B = 9 ¡ p 3 ¢m ¤−2m , m ∈ Z. p p 3 2p 6 q + 3 −16p 3 q + 3 2q . a. A = −p −p −2 Exercice 17 Résoudre dans R les inéquations suivantes : p a. x − 3 > x 2 + 3x , s b. x 2 (2x − 5) ≥ 2 − x. 2(x + 1) 28/06/2026

3 Analyse 1 Test d’aptitude – Série 2 EPFL Exercice 18 Donner pour les cas suivants le reste de la division de P (x) par Q(x). a. P (x) = −x 3 + 2x 2 − 3x + 1 Q(x) = x + 5 b. P (x) = (x − 3)11 Q(x) = x − 1 c. P (x) = x 2 + 1 Q(x) = 2x + 1 Exercice 19 a. Déterminer a ∈ R pour que x 4 − a 2 x + 3 − a admette 4 comme reste après division par x − 3 et 24 comme reste après division par x + 1 ; b. Trouver un polynôme réel P (x) du troisième degré admettant 5 comme racine double, -5 comme reste de la division par x + 1, et tel que x − 2 divise P (x). Exercice 20 Déterminer le quotient et le reste de la division de P (x) par D(x) a. P (x) = 2x 4 − 3x 3 + 4x 2 − 5x + 6, D(x) = x 2 − 3x + 1 ; b. P (x) = x 4 − 2x 3 + 4x 2 − 6x + 8, D(x) = x − 1 ; Exercice 21 Mettre sous la forme a + i b : a. (4 − i ) + (2 + 3i )(1 − i ) ; b. i n n entier ; 1 ; c. 3−2i 9 ) d. (1+i (1−i )7 Exercice 22 a. Résoudre en complétant le membre de gauche pour former un carré parfait : z 2 + 2(1 + i )z − 5 =0 1 + 2i b. Résoudre en devinant une solution : z 3 + 9z − 10 = 0. 28/06/2026

4 Analyse 1 Test d’aptitude – Série 2 EPFL Exercice 23 Donner sous la forme algébrique (ou cartésienne) les racines carrées des nombres complexes suivants : a. z = 9i ; b. z = 5 − 12i ; 1 + 1i . c. z = 1−i Exercice 24 Décomposer les polynômes suivants en facteurs irréductibles dans R[x]. a. A(x) = x 4 + 1, b. B (x) = x 12 − x 8 − x 4 + 1. Exercice 25 Décomposer les polynômes suivants en facteurs irréductibles dans C[x]. a. A(x) = x 3 − x 2 + 2x − 2, b. B (x) = x 4 − 1, c. C (x) = x 4 + 4. Exercice 26 Résoudre les équations suivantes par rapport à x ∈ R : a. 3 ln 2 + ln 12 − x = ln x−9 x+1 ¡ ¢ ¡ ¢ p p b. ln 2x − 13 − 15 x + ln 2 = ln(2x − 30) − ln 2 ¡ ¢ Exercice 27 En utilisant l’interprétation géométrique de ln(x), démontrer que lim ln(x) = +∞ x→+∞ Indication : On pourra utiliser que la somme ¶ 1 1 1 1 1 lim + + + +…+ = +∞ n→+∞ 2 3 4 5 n µ

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5 Analyse 1 Test d’aptitude – Série 2 EPFL 28/06/2026

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