Tests de connaissances
Questions d’algèbre linéaire
Série 1
Loading Viewer…
Algèbre linéaire
Test d’aptitude
EPFL
Tous les exercices sont basés sur les connaissances acquisent en option maths niveau renforcé du
programme de la maturité suisse.
Questions
Exercice 1
Dans chacun des cas, calculer si possible le produit proposé :
5
a. 2 1 −1 1
3
1 −3 µ ¶
6
0
b. 2
1
−1 1
µ ¶
¢
4 ¡
−1 2 5
c.
1
µ
¶
2 3
d.
(0 1).
−1 4
¡
¢
Exercice 2
Donner deux matrices élémentaires E 1 et E 2 vérifiant la condition donnée :
1 3 −1
3 4 −1
E1E2 2 1 0 = 2 1 0
−3 1 −2
0 5 −3
Exercice 3
Déterminer une matrice X ∈ M3 (R) telle que :
−2 3 4
2 7 −1
X 1 −5 0 X = 7 −1 2
−5 0 1
4 −2 3
Indication : commencer par observer les changements sur les lignes ou les colonnes.
Exercice 4
Dans M2 (R), on donne la matrice :
µ
A=
3 −2
−1 23
¶
a. Quel est le rang de A ?
b. Ecrire des décompositions colonne-ligne minimales de A .
28/06/2026
Accueil1 Algèbre linéaire Test d’aptitude EPFL Exercice 5 Dans M2,3 (R), on donne la matrice : µ A= 2 8 −4 −3 −12 0 ¶ a. Quel est le rang de A ? b. Donner une décomposition colonne-ligne minimale de A . Exercice 6 Sachant que : ¯ ¯ ¯ α β γ ¯ ¯ ¯ ¯ δ ε ρ ¯=3 ¯ ¯ ¯ λ µ σ ¯ calculer chacun des déterminants suivants : ¯ ¯ ¯ ¯ δ ε ρ ¯ ¯ a. ¯¯ α + 2λ β + 2µ γ + 2σ ¯¯ ¯ ¯ λ µ σ ¯ ¯ ¯ 2β γ α ¯ ¯ ¯ b. ¯¯ 2µ σ λ ¯¯ ¯ 2ε ρ δ ¯ ¯ ¯ ¯ 3(δ − ε) 3ρ ε ¯ ¯ ¯ γ 31 β ¯¯. c. ¯¯ α − β ¯ λ−µ σ 13 µ ¯ Exercice 7 On donne la matrice : 1 2 −1 A= 0 1 2 −1 1 6 a. Calculer le déterminant de A . b. La matrice A est-elle inversible ? Si oui, calculer la matrice inverse A −1 . Exercice 8 Dans chacun des cas suivants, déterminer à quelle condition sur α, β, γ ∈ R la matrice proposée est inversible et, sous cette condition, calculer l’inverse : 0 a. 0 γ 0 0 b. γ α β c. γ 28/06/2026 0 α β 0 0 0 α 0 0 β 0 0 0 0 β 0 γ γ
Accueil2 Algèbre linéaire Test d’aptitude EPFL Exercice 9 Montrer que pour toutes matrices A et B dans M2 (R), on a : det(AB ) = det(A) det(B ) Exercice 10 Dans R2 , on donne la droite vectorielle : V : 5x + 3y = 0 a. Déterminer une base B de V . b. Soit v = (x, y) ∈ R2 . Si v appartient à V , calculer [v]B en fonction de x uniquement, puis en fonction de y uniquement. Exercice 11 On donne les deux bases suivantes de R2 : B = (0, 2), (1, −3) et B ′ = (−1, 1), (2, 1). a. Déterminer la matrice de changement de base de B à B ′ . b. Pour tout élément v de R2 exprimer [v]B ′ en fonction de [v]B . c. Contrôler la relation écrite en b. sur quelques exemples de votre choix. Exercice 12 Si c’est possible, déterminer une base B = v 1 , v 2 , v 3 de R3 telle que : a. Vect (v 1 , v 2 ) est le plan vectoriel d’équation 2x + y + 2z = 0. b. Même condition qu’au a. et, en supplément, Vect (v 2 , v 3 ) contient (4, 1, 3) et (−6, 5, 2). c. Mêmes conditions qu’au b. et, en supplément : 0 [(0, 0, 1)]B = 11 . −7 Exercice 14 Dans R3 on donne les trois plans suivants : U : x + y + z = 3, V : x + 2y + 3z = 6, W : 2x + y = 7 a. Donner une description paramétrique de U ∩ V . b. Représenter sur un dessin les plans U et V ainsi que leur intersection. c. Identifier l’intersection U ∩ V ∩ W puis placer W sur votre dessin. 28/06/2026
Accueil3 Algèbre linéaire Test d’aptitude EPFL Exercice 15 Exercice 2. On donne l’application linéaire : f : R2 → R2 , (x, y) → (x + 5y, x − 3y) a. Calculer le rang de f . En déduire Im f et Ker f . b. L’application f est-elle inversible ? Si oui, en donner l’application inverse f −1 . Exercice 16 On donne l’application linéaire : f : R3 → R3 , (x, y, z) → (2x − y + z, x + 3y + 4z, 3x + 2y + 5z) a. Déterminer une base de Ker f . b. Quel est le rang de f ? Donner une (ou des) équation(s) de Im f . c. Décomposer f (x, y, z) dans une base de Im f et écrire la décomposition minimale correspondante de la matrice le f . Exercice 17 On donne l’application linéaire : µ ¶ 1 1 1 1 3 3 f : R → R , (x, y, z) → − y − z, y + z, y + z 2 2 4 4 4 4 3 3 a. Montrer que f est une projection et décrire les sous-espaces vectoriels Im f et Ker f de R3 . ¡ ¢ b. Quel est l’ensemble Ker f − idR3 formé des éléments de R3 fixés par f ? c. Représenter sur un croquis les éléments caractéristiques de f ainsi qu’un point (x, y, z) et son image f (x, y, z) var f . Exercice 17 Une projection f : R2 → R2 envoie (4, 3) sur (3, −1). Placer f (x, y) sur le dessin ci-dessous. Indication : on pourra commencer par placer les axes de projection sur le dessin. 28/06/2026
Accueil4 Algèbre linéaire Test d’aptitude EPFL Déterminer la valeur de f (x, y) en fonction de x et y . Exercice 18 Déterminer l’expression de la réflexion : f : R2 → R2 dont l’axe est la droite vectorielle d’équation 5x + 4y = 0. Exercice 19 On donne la base B = (1, 2), (2, −3) de R2 , ainsi que l’application linéaire suivante : 1 f : R2 → R2 , (x, y) → (3x + 2y, 6x + 4y) 7 a. Déterminer la matrice [ f ]B . b. Ecrire l’expression analytique de f en base B et interpréter géométriquement. Exercice 20 Décrire le noyau et l’image de l’application linéaire suivante : f : R3 → R3 , (x, y, z) → (3x + 2y + z, −3x + z, −y − z) Si c’est possible, déterminer alors une base B de R3 vérifiant la condition donnée. a. La dernière colonne de la matrice [ f ]B est nulle. b. Même condition qu’au a. et, en supplément, la dernière ligne de la matrice [ f ]B est nulle. 0 c. Mêmes conditions qu’au b. et, en supplément, la première colonne de la matrice [ f ]B est 1 . 0 Exercice 21 On donne l’application linéaire : f : R2 → R2 , (x, y) → (3x − 2y, −x + 2y) a. Calculer le polynôme caractéristique de f et en déduire ses valeurs propres. b. f est-elle diagonalisable ? Si oui, donner une base propre pour f . c. Représenter sur un croquis les sous-espaces propres de f ainsi qu’un point ( x, y ) et son image f (x, y) par f . 28/06/2026
Accueil5 Algèbre linéaire Test d’aptitude EPFL Exercice 22 On donne une application linéaire dont la matrice est symétrique : f : R2 → R2 , (x, y) → (αx + βy, βx + γy) a. Montrer que f est diagonalisable. b. On suppose que f ̸= αidR2 . Montrer que si l’on visualise R2 à l’aide d’un repère orthonormé direct du plan alors f possède comme sous-espaces propres 2 droites vectorielles orthogonales. Indication : discuter selon que β = 0 ou β ̸= 0.
AccueilTest1-Alglin- EPFL 28/06/2026
Accueil6