Ensembles et logique 

Ce chapitre introduit l’algèbre des ensembles et ses liens avec la logique. On y définit les ensembles comme des collections d’éléments et on décrit les opérations fondamentales : union, intersection, complément, différence et différence symétrique. Les propriétés essentielles telles que commutativité, associativité, distributivité et lois de De Morgan sont mises en évidence. Le texte établit ensuite une correspondance entre opérations ensemblistes et logique propositionnelle, avec tables de vérité. Sont étudiées les notions de parties d’un ensemble, leur cardinalité et leur représentation binaire. La deuxième partie introduit les concepts d’injectivité, surjectivité et bijectivité pour les fonctions, avec définitions formelles, implications et exemples. Le chapitre poursuit avec l’ensemble de définition d’une fonction, illustré par des cas rationnels, racines carrées et logarithmes. Enfin, les propriétés de parité, périodicité et monotonicité des fonctions sont abordées, complétant ainsi les bases nécessaires pour l’analyse et l’algèbre.

Exercices ensembles et logique

Cette série d’exercices introduit les notions fondamentales d’ensembles et de logique. On commence par manipuler des ensembles finis pour travailler sur les opérations usuelles comme l’union, l’intersection ou la différence. On généralise ensuite à des ensembles quelconques, en explorant la complémentation et les lois de De Morgan. On apprend aussi à décrire un ensemble soit par une condition, soit par une liste explicite d’éléments. La logique se relie à la géométrie avec un rappel du théorème de Pythagore et de ses conséquences trigonométriques, y compris les identités et formules d’addition. Viennent ensuite les notions de fonctions, où l’on étudie l’injectivité, la surjectivité et la bijectivité à travers des exemples concrets. On s’intéresse au domaine et à l’image de fonctions usuelles, et on apprend à restreindre une fonction pour obtenir une bijection et construire sa réciproque. Enfin, la série se termine par un questionnaire de type « vrai ou faux » qui oblige à réfléchir aux propriétés des fonctions, en particulier le lien entre croissance, injectivité et surjectivité.

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Vidéo 1 – Parties d’un ensemble

Vidéo 2 – Tables de vérité

Ensembles de nombres

Cette note présente la classification des ensembles de nombres et les liens entre leurs propriétés. Elle commence par les naturels, définis à partir des axiomes de Peano, puis formalise l’addition et la multiplication et rappelle le principe de récurrence comme outil de preuve. Elle introduit ensuite les rationnels comme fractions d’entiers, leur écriture réduite, leur structure de corps ordonné et leur densité parmi les réels, tout en soulignant leur non-complétude. Les réels sont construits comme le complété des rationnels (par coupures ou suites de Cauchy), forment un corps totalement ordonné et complet, et contiennent à la fois rationnels et irrationnels. Les intervalles y sont décrits avec précision, ainsi que les notions de borne supérieure, borne inférieure, supremum, infimum, maximum et minimum, avec des exemples pour les cas ouverts, fermés, semi-ouverts et non bornés. La propriété archimédienne est énoncée et illustrée, mettant en évidence la possibilité de dépasser toute grandeur par des multiples d’une autre. La note rappelle aussi l’ensemble des parties et la croissance du nombre de sous-ensembles pour un ensemble fini. Enfin, elle introduit les nombres complexes, leurs représentations algébrique, polaire et exponentielle, ainsi que les opérations usuelles, la conjugaison, le module et l’argument, en évoquant des applications en mathématiques, physique et ingénierie. L’ensemble fournit un panorama structuré des principaux ensembles numériques et des outils qui les accompagnent.

Cette série d’exercices aborde d’abord des preuves d’irrationalité, en particulier pour des racines célèbres, par des raisonnements par l’absurde. Elle enchaîne avec l’étude d’un intervalle demi-ouvert, pour identifier borne supérieure et borne inférieure, et discuter l’existence d’un maximum et d’un minimum. Un ensemble varié d’exemples demande ensuite de déterminer si des sous-ensembles des réels sont majorés, minorés ou bornés, puis de calculer supremum, infimum et, le cas échéant, les extrêmes atteints. Une partie est consacrée à la réécriture d’ensembles définis par des inégalités en notation d’intervalles, en s’appuyant sur la maîtrise des valeurs absolues et des conditions polynomiales. La série traite aussi des écritures décimales, avec la preuve de l’égalité entre un développement périodique particulier et un entier, la conversion de décimaux (finis ou périodiques) en fractions, ainsi que la production d’un développement décimal non trivial. Un questionnaire vrai-faux invite à raisonner sur les sommes de rationnels et d’irrationnels, et sur les distinctions entre existence d’un maximum et existence d’un supremum. Il met également en lumière le cas où la borne supérieure coïncide avec la borne inférieure et ses conséquences sur la structure de l’ensemble. La dernière partie demande de ramener des expressions complexes à la forme standard, en mobilisant puissances, identités algébriques et utilisation du conjugué pour les quotients. L’ensemble consolide la compréhension des intervalles et des bornes, du lien entre décimaux périodiques et rationnels, et des opérations de base dans le corps des complexes. Au fil des exercices, les méthodes classiques sont mobilisées : raisonnement par l’absurde, encadrement, réécritures d’inégalités et calculs algébriques précis.

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Racine de 2 n’est pas un nombre rationnel

Bornes supérieure et inférieure d’un intervalle

Cette note présente les nombres complexes, nés au seizième siècle pour résoudre des équations polynomiales sans solution réelle. Un nombre complexe s’écrit comme une partie réelle et une partie imaginaire, et l’ensemble des complexes étend les réels. Les représentations usuelles sont la forme algébrique, la forme polaire avec module et argument, et la forme exponentielle, utiles selon les calculs. Les opérations d’addition, de multiplication et de division se décrivent simplement, notamment via le conjugué pour rationaliser un quotient. Le module mesure la distance à l’origine et l’argument l’angle, avec des propriétés de compatibilité avec les produits. Le théorème de Moivre relie puissances et angles et permet de traiter efficacement les calculs trigonométriques. Les racines nièmes d’un complexe se répartissent régulièrement sur le cercle correspondant. Les applications couvrent l’analyse complexe, l’électromagnétisme, la mécanique quantique, le traitement du signal et la géométrie des rotations. Le théorème fondamental de l’algèbre affirme que tout polynôme non constant à coefficients complexes possède au moins une racine complexe. Une idée de preuve consiste à étudier le module du polynôme, qui atteint un minimum sur un disque fermé, et à montrer qu’en l’absence de racine ce minimum conduit à une contradiction. L’ensemble offre un cadre unifié, puissant et géométriquement intuitif pour de nombreux problèmes mathématiques et physiques.

Cette série porte sur les nombres complexes et les suites numériques.

• On y calcule parties réelle, imaginaire, conjugué, argument et inverse.
• Les exercices incluent la mise en forme cartésienne et polaire, la résolution d’équations et l’étude de polynômes.
• La seconde partie introduit convergence, bornitude et monotonie des suites.
• Elle constitue une transition entre calcul complexe et analyse des suites.

Cette série d’exercices développe les outils de base des nombres complexes et introduit des liens avec l’étude des suites. Elle commence par le calcul des parties réelle et imaginaire, du conjugué, de l’argument et de l’inverse de nombres complexes donnés. Elle demande ensuite d’établir des formules générales pour l’argument selon le quadrant et de démontrer des propriétés fondamentales du conjugué, y compris son lien avec l’exponentielle. Plusieurs expressions complexes sont à réécrire sous forme cartésienne et polaire, ce qui permet de manipuler efficacement les identités et les fractions. Un ensemble d’équations complexes est à résoudre, mobilisant les racines nièmes, les équations quadratiques et les identités algébriques. Les polynômes sont étudiés à travers la symétrie de leurs racines, la factorisation en irréductibles et l’identification de racines données. La série inclut aussi des rappels d’analyse, comme la formule d’addition du sinus ou une caractérisation des complexes dont la somme avec leur inverse est réelle. Des questions de type vrai ou faux testent la compréhension des relations entre module, partie réelle et exponentielle. Enfin, la série introduit des exercices sur les suites numériques, en particulier la définition de suites bornées et l’étude détaillée des suites géométriques selon la valeur du rapport. L’ensemble consolide les compétences en calcul complexe et amorce l’analyse des suites en vue des développements ultérieurs.

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Cette note présente les suites numériques comme des fonctions définies sur les entiers naturels à valeurs réelles, avec une notation claire selon l’indice de départ. Elle décrit les notions centrales de convergence, divergence vers l’infini positif ou négatif, et oscillation, ainsi que la bornitude et la monotonie, illustrées par des exemples classiques. Elle rappelle l’équivalence entre convergence et propriété de Cauchy dans les réels. Divers types de suites sont passés en revue : constantes, arithmétiques, géométriques, harmoniques, polynomiales et suites définies par récurrence, dont la suite de Fibonacci, avec leurs comportements typiques. Les étapes de définition par récurrence sont détaillées : conditions initiales, relation de récurrence, applicabilité, construction terme à terme, existence et unicité. Les résultats clés incluent l’unicité de la limite, le théorème de Bolzano–Weierstrass sur l’existence de sous-suites convergentes pour toute suite bornée, et la convergence des suites monotones bornées. La note présente aussi une propriété sur les valeurs d’accumulation d’une suite bornée, qui comble l’intervalle entre deux limites d’adhérence distinctes. Le principe de récurrence est exposé dans son cadre axiomatique, ainsi que la variante de récurrence forte, utile quand l’hérédité dépend de plusieurs indices antérieurs. Enfin, la définition rigoureuse de la limite est interprétée de façon intuitive : à partir d’un certain rang, les termes restent arbitrairement proches de la valeur limite, fournissant un outil unificateur pour l’analyse des suites.

Cette série développe l’étude des suites numériques et la récurrence.

• On démontre des identités et la formule du binôme de Newton.
• Les exercices incluent le calcul de sommes et la formule de Binet pour Fibonacci.
• On analyse convergence, quotients de suites et comportements limites.
• L’ensemble renforce les bases de l’analyse des suites

La série d’exercices est consacrée aux suites numériques et à l’utilisation du principe de récurrence. On commence par des démonstrations simples établissant la formule d’une suite définie par récurrence, ainsi que l’identité algébrique reliant un polynôme de degré n à sa factorisation. Les exercices abordent ensuite les coefficients binomiaux et la formule du binôme de Newton, en introduisant des relations fondamentales comme l’identité de Pascal.

La suite propose des calculs de sommes classiques, incluant la somme des entiers, des carrés, de fractions télescopiques et des coefficients binomiaux. Une attention particulière est portée à la relation entre coefficients binomiaux et suite de Fibonacci, préparant ainsi à la démonstration explicite de la formule de Binet pour cette suite.

Les exercices suivants traitent de la convergence des suites et de l’équivalence entre la distance à la limite et la convergence. On explore aussi les comportements liés à la limite d’un quotient de suites convergentes, ainsi que des cas particuliers où la valeur absolue converge mais pas la suite initiale.

Enfin, la série demande l’étude détaillée de la croissance, de la décroissance, de la bornitude et de la limite de différentes suites, avant de proposer des questions de type vrai/faux sur les conditions de convergence et les combinaisons de suites. Cette série constitue un approfondissement méthodique des outils analytiques sur les suites.

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Ce document propose une série d’exercices consacrés aux suites numériques et à leur convergence. On commence par relier la définition de borne supérieure et inférieure avec l’existence de suites convergentes. Les exercices explorent ensuite différentes limites classiques et non triviales, en utilisant la définition de la limite et les propriétés de continuité. Plusieurs suites particulières sont étudiées, dont celles comportant des radicaux, des sinus et des factorielles. L’utilisation du développement limité et de la formule de l’exponentielle est également demandée. Le document introduit la notion de lim inf et lim sup à travers des exemples concrets. Une série de questions vrai/faux amène l’étudiant à clarifier les idées reçues sur la convergence et la divergence. Enfin, des suites définies par récurrence sont étudiées afin de déterminer leur limite et leur comportement. Ces exercices entraînent à manier rigueur formelle, intuition et techniques classiques de l’analyse.

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Ce document rassemble une série d’exercices avancés d’analyse portant sur les suites et séries numériques. On commence par l’étude de la convergence des suites et de leurs sous-suites, avec application à des limites classiques.Des questions de type « vrai ou faux » amènent à vérifier des propriétés générales, comme la bornitude, la convergence et la caractérisation des suites de Cauchy. On explore ensuite des sous-suites particulières et leur convergence vers différentes valeurs. Le texte traite également des séries géométriques, en détaillant les conditions de convergence et leurs sommes exactes. Les séries de Riemann sont introduites, avec la distinction entre convergence et divergence selon la valeur de l’exposant. Plusieurs exemples de séries complexes permettent d’appliquer les tests de convergence usuels. On retrouve aussi des exercices sur les séries alternées et des études fines de la convergence. Enfin, des séries classiques sont calculées directement par manipulation des sommes partielles. Ce document constitue un entraînement complet aux méthodes de convergence utilisées en première année universitaire.

Série 1 (Algèbre linéaire)

• Cette série introduit la notion d’équation linéaire et de système d’équations.
• Elle entraîne à construire et manipuler les matrices augmentées.
• Les exercices portent sur la mise en forme échelonnée et la réduction de matrices.
• On y analyse l’existence, l’unicité ou l’infinité des solutions.
• Enfin, des questions de vrai/faux vérifient la compréhension des opérations élémentaires et des propriétés fondamentales des systèmes.

Cette série d’exercices introduit les bases des systèmes d’équations linéaires et de leur résolution. Elle commence par l’identification d’équations linéaires parmi différents exemples et se poursuit avec l’étude géométrique de droites dans le plan en fonction des paramètres. Les exercices abordent ensuite la construction de matrices augmentées associées à des systèmes, ainsi que leur résolution par opérations élémentaires. La mise en forme échelonnée et échelonnée réduite des matrices est utilisée pour déterminer l’existence et le nombre de solutions : unique, infinie ou inexistante.

Certains exercices portent sur la reconnaissance des formes échelonnées, l’identification des variables liées et libres, et l’analyse des systèmes correspondants. D’autres demandent de juger de la validité d’opérations élémentaires sur les lignes, ou encore de vérifier des énoncés relatifs aux propriétés des systèmes et des matrices augmentées. L’accent est mis sur la compréhension des notions de pivot, de compatibilité des systèmes et sur le rôle fondamental des opérations élémentaires.

En résumé, cette série développe les compétences nécessaires pour distinguer les équations linéaires, manipuler les matrices augmentées, effectuer correctement des réductions, et analyser rigoureusement la structure et les solutions d’un système d’équations linéaires.

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Ce chapitre présente la méthode de Gauss pour la résolution des systèmes d’équations linéaires. La démarche consiste à transformer le système en un système équivalent plus simple en appliquant des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice augmentée. La matrice augmentée regroupe les coefficients et les termes constants et constitue l’outil central de la méthode.

Les systèmes homogènes, caractérisés par des termes constants nuls, possèdent toujours au moins la solution triviale. La notion de pivot joue un rôle essentiel : il s’agit d’un élément non nul utilisé pour éliminer les coefficients situés en dessous dans une colonne donnée. L’échelonnement de la matrice permet ainsi de mettre en évidence la structure du système.

Trois situations peuvent apparaître : un système peut avoir une solution unique lorsque le nombre de pivots correspond au nombre de variables, aucune solution en cas de contradiction dans les équations, ou une infinité de solutions si certaines variables restent libres. On distingue alors les variables liées, déterminées par les pivots, et les variables libres, qui peuvent prendre des valeurs arbitraires.

La relation entre le nombre de pivots et la configuration du système permet donc de déterminer rapidement la nature des solutions. La méthode de Gauss constitue un outil fondamental pour l’analyse et la résolution systématique des systèmes linéaires.

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Série 1 – Ordres de grandeurs

Série 2 – Rappels mathématiques

Série 3 – Cinématique I

Série 4 – Cinématique II

Série 5: Dynamique du point matériel

Série 6: Oscillations

Série 7: Rotations et oscillations

Série 8: Oscillations II

Série 9: Energie et oscillateur harmonique

Série 10: Energie, collisions et moments

Série 11: Mouvement central et moment cinétique

Série 12: Référentiels accélérés

Série 13: Centre de masse, matrice d’inertie

Série 14: Dynamique des solides

Exercice de mécanique – échelle appuyée, équations du mouvement et énergie.

Cet exercice traite de l’équilibre et du mouvement d’une échelle rigide sans frottement appuyée sur un mur et un sol. Les étudiants doivent appliquer le théorème du moment cinétique et celui du centre de masse pour établir les équations du mouvement. L’analyse des forces de réaction permet de relier la dynamique de l’angle d’inclinaison à la géométrie du problème. L’énergie mécanique est ensuite étudiée afin de vérifier sa conservation en l’absence de frottement. L’énoncé propose ainsi une combinaison de cinématique, dynamique et énergie mécanique. La résolution implique le calcul du moment en différents points, la décomposition des forces et l’identification des contraintes de contact. Cet exercice illustre comment combiner plusieurs théorèmes fondamentaux de la mécanique pour analyser un système simple mais représentatif.

Exercice de mécanique – collision avec ressort et centre de masse

Cet exercice traite de l’étude d’une collision entre deux plots reliés par un ressort sur un banc à air. Un des plots est initialement immobile tandis que l’autre arrive avec une vitesse donnée. Le ressort assure la liaison entre les deux masses et emmagasine l’énergie de déformation. La première question porte sur la conservation de la quantité de mouvement pour déterminer la vitesse commune après accrochage. La deuxième question analyse la compression du ressort en appliquant la conservation de l’énergie mécanique. La troisième question demande l’écriture des équations du mouvement à partir de la deuxième loi de Newton pour chaque plot. La quatrième question s’intéresse au mouvement global du centre de masse du système. L’énoncé permet de mettre en évidence la distinction entre conservation de la quantité de mouvement et dissipation de l’énergie cinétique. L’exercice illustre également l’importance des forces internes et du rôle du ressort comme stockage d’énergie. Il constitue un entraînement classique de mécanique des collisions et des systèmes à deux masses couplées.

Exercice de mécanique – Roue mal équilibrée, matrices d’inertie et moment cinétique.

Cet exercice étudie une roue dont l’axe n’est pas parfaitement équilibré. On projette la vitesse de rotation dans un repère d’inertie adapté à la géométrie. On écrit la matrice d’inertie dans ses axes principaux puis on calcule le moment cinétique. Le théorème du moment cinétique fournit le moment mécanique associé au déséquilibre. On effectue ensuite un changement de base vers un repère non principal. La nouvelle matrice d’inertie comporte des termes croisés qui compliquent les calculs. On recalcule le moment cinétique et le moment mécanique dans ce repère. On compare les deux expressions du moment et on constate qu’elles coïncident. Le résultat physique ne dépend pas du repère, seul change l’algèbre. 

L’exercice illustre l’intérêt d’utiliser les axes principaux d’inertie pour simplifier.

Exercice de mécanique – Charge sur cylindre, forces et équations du mouvement.

On étudie le mouvement d’une particule chargée contrainte à glisser sur la surface d’un cylindre.
Le référentiel choisi est inertiel et un repère cylindrique suit la particule.
La vitesse se décompose selon l’angle azimutal et l’axe du cylindre.
La force magnétique est parallèle au rayon du cylindre et dépend du produit charge, vitesse azimutale et champ.
La réaction normale maintient la particule sur la surface.
Le frottement cinétique, sans adhérence, s’oppose à la vitesse tangentielle et axiale.
On écrit les équations du mouvement dans les trois directions du repère cylindrique.
Les contraintes géométriques fixent le rayon et simplifient l’accélération.
On obtient un système couplant la dynamique angulaire et axiale via le frottement.
Le mouvement circulaire uniforme survient si la composante axiale est nulle et si la vitesse angulaire compense la force magnétique.

Balistique et parabole de sécurité

Cet exercice traite du mouvement d’un projectile soumis uniquement à la gravité. On commence par établir l’équation de la trajectoire en fonction de la distance horizontale et de l’angle de tir. Les calculs permettent de retrouver la portée maximale ainsi que la hauteur maximale atteinte par le projectile. L’étude conduit ensuite à déterminer la parabole de sécurité, qui définit la zone au-delà de laquelle le projectile ne peut se trouver. Cette courbe est obtenue en considérant l’ensemble des points atteignables en fonction de la vitesse initiale. L’analyse montre que l’axe de symétrie de la parabole est l’axe vertical, ce qui reflète la symétrie des tirs par rapport à l’angle de lancement. Enfin, l’exercice demande de démontrer qu’une certaine fonction reliant la vitesse et la position constitue une constante du mouvement. Cela illustre la conservation d’une grandeur associée aux équations du mouvement uniformément accéléré. L’ensemble met en évidence les liens entre trajectoires balistiques, optimisation de la portée et invariants dynamiques. La parabole de sécurité fournit ainsi un cadre théorique utile pour définir des zones protégées lors d’expériences balistiques.

Exercice de mécanique – L’accident et l’analyse cinématique

Cet exercice étudie un accident de la route à Lausanne, où une voiture dépasse la vitesse autorisée et percute un piéton. L’analyse s’appuie sur les traces de freinage, la distance avant le passage piéton et la position des débris. On modélise le freinage de la voiture par un mouvement rectiligne uniformément accéléré. La vitesse initiale et le temps de freinage sont calculés à partir de la longueur des traces. Les débris de verre suivent une trajectoire décrite par un mouvement rectiligne uniforme horizontal et une chute verticale. On utilise ces équations pour retrouver la vitesse au moment de l’impact et la position de collision. Le calcul montre que la voiture roulait bien au-delà de la limite légale. L’analyse de la trajectoire des débris révèle que le piéton traversait hors du passage réglementaire. La résolution combine cinématique horizontale et verticale pour confronter données théoriques et faits observés. La conclusion met en évidence une double responsabilité entre conducteur et piéton.

Exercice de mécanique – Snowboardeur : frottement, saut et décollage

Un snowboardeur part d’un premier point avec une vitesse donnée, subit un frottement constant et atteint un second point avec une vitesse plus faible.

Le travail du frottement sur la portion horizontale se calcule par force de contact fois distance, avec signe négatif car opposé au mouvement.

La baisse d’énergie cinétique entre départ et arrivée est égale à ce travail, ce qui donne la vitesse à l’arrivée.

Depuis le bord, le rider saute au-dessus du vide : la portée horizontale dépend de la vitesse d’attaque et du temps de chute fixé par la hauteur.

Dans la seconde partie, la pente est un quart de cercle, sans frottements : on choisit des coordonnées cylindriques liées au mouvement.

La réaction du sol résulte de la différence entre poids projeté le long du rayon et accélération centripète.

L’énergie mécanique se conserve sur l’arc, ce qui relie la vitesse locale à l’altitude.

Le décollage survient quand la réaction du sol devient nulle, ce qui fixe un angle mesuré le long du profil.

On en déduit une condition sur la vitesse d’entrée pour décoller dès le bord.

L’ensemble illustre le chaînage travail-énergie, la chute libre et la dynamique circulaire sans glissement.

Oscillations forcées à Gotham City

Un pendule modélise le mouvement de Batman suspendu à une corde soumise à une force sinusoïdale. L’équation différentielle du mouvement est établie dans l’approximation des petits angles. L’amplitude des oscillations est exprimée en fonction des paramètres de la force et de la fréquence excitatrice. La pulsation de résonance est identifiée comme la fréquence propre du système. Une discussion qualitative montre que pour éviter la résonance réelle, il est préférable de choisir une pulsation légèrement supérieure à la valeur critique. L’étude illustre la dynamique d’un pendule forcé sans frottement. L’ensemble met en évidence les notions de stabilité, d’approximation des petits angles et de résonance mécanique. L’oscillateur est étudié dans un cadre simplifié mais relié à une situation concrète.

SwissCube : mise en orbite et énergie des satellites

Cet exercice porte sur le satellite SwissCube placé en orbite circulaire. On calcule ses énergies potentielle, cinétique et totale à partir de la loi de la gravitation universelle. On analyse ensuite la situation initiale au sol en tenant compte de la vitesse due à la rotation de la Terre. La variation d’énergie nécessaire pour atteindre l’orbite dépend de la latitude du site de lancement, ce qui explique le choix stratégique de bases proches de l’équateur. Enfin, l’effet des frottements atmosphériques est étudié : la perte d’énergie conduit à une diminution progressive du rayon orbital tandis que la vitesse du satellite augmente. L’exercice illustre les principes fondamentaux de la mécanique céleste et des transferts d’énergie lors de la mise en orbite.

Modèle de collision entre solide indéformable et projectile

On étudie l’impact d’un petit projectile sur une cible formée de deux masses reliées par une barre rigide, le tout se déplaçant sans frottement dans un plan. Avant le choc, la quantité de mouvement totale est celle du projectile seul, la barre étant au repos. Le centre de masse après collision se situe entre les deux masses selon une proportion fixée par leurs valeurs. Le moment cinétique pris au centre de masse est conservé pendant l’impact, faute de moment extérieur. On exprime ce moment en fonction de la vitesse angulaire et de la répartition des masses. Dans la limite où la masse située au bout devient très grande, l’axe passe par ce point et la quantité de mouvement globale se transmet au système. Pour une masse finie, on déduit la vitesse angulaire en liant le moment cinétique avant et après le choc. Enfin, on calcule la quantité de mouvement de la masse embarquée après l’impact, à tout instant, à partir de la vitesse du centre de masse et de la rotation autour de celui-ci. L’exercice mobilise centres de masse, quantités de mouvement, moments cinétiques et cinématique du solide indéformable. Il illustre la cohérence entre lois de conservation et description géométrique du mouvement.

 Cinématique et moment cinétique

Une barre homogène tourne autour d’un axe passant par son centre dans un plan vertical. Simultanément, cet axe décrit une rotation autour d’un axe vertical fixe. On exprime la vitesse de rotation totale comme somme de deux contributions. Dans la base liée à la barre, on projette cette vitesse sur trois directions orthogonales. Le moment d’inertie est distinct selon l’axe de la barre et les axes perpendiculaires. On en déduit le moment cinétique au centre de masse sous forme vectorielle. Le moment cinétique au point fixe s’obtient par le théorème de transfert. La dérivée temporelle du moment cinétique sépare variation des composantes et rotation de base. On applique le théorème du moment cinétique pour trouver le couple extérieur requis. Le résultat relie le couple aux vitesses de rotation, aux moments d’inertie et à l’angle instantané.

Plan incliné avec frottement, poussée et traînée

Une masse glisse sur un plan incliné et est reliée par un fil à une seconde masse immergée. La première subit la pesanteur, la réaction et un frottement sec statique puis dynamique. La seconde subit la poussée d Archimède et un frottement visqueux proportionnel à la vitesse. On dresse les schémas de forces et on choisit des repères adaptés aux deux solides. On écrit les équations de Newton et on couple les inconnues par la tension et la géométrie. On trouve la condition minimale sur la masse du plan pour initier la descente. Quand le mouvement démarre, l’équation différentielle est du premier ordre avec terme source. La vitesse croît de façon exponentielle vers une vitesse limite fixée par la traînée et les poids. L accélération décroît exponentiellement vers zéro lorsque la vitesse limite est atteinte. Le résultat dépend des angles, des masses, de la poussée et du coefficient de frottement visqueux.

Pendule sur cube en rotation libre : forces d’inertie, équations du mouvement et analyse complète

Un cube tourne librement autour d’un axe vertical à vitesse variable. Un pendule est fixé à une arête et oscille sans frottement dans un plan vertical tangent. On choisit un repère cylindrique attaché au point matériel et un repère lié au cube. On établit le bilan des forces réelles et des réactions géométriques de guidage. On exprime les accélérations relative, de Coriolis, centrifuge et d’Euler. On calcule l’accélération du point d’attache dans le référentiel fixe de la salle. On projette chaque terme sur les trois directions du repère cylindrique. On assemble la relation entre accélération absolue et accélérations apparentes. On obtient l’équation différentielle du mouvement dans la direction normale au plan. On interprète la réaction comme la somme des effets inertiels et gravitationnels projetés.

Roto-vibrations : masse sur table et ressort — équations et analyse

Lancer de ballon vertical — formules clés avec et sans frottement

Boule sur bras tournant — frottement visqueux, amortissement et chute limite

Meule en rotation — forces de contact moment d inertie et précession

Métronome vertical sur demi cercle.

Pendulum on a Rotating Door — Forces, Equilibria, and Small-Angle Oscillations

Ballistics with Linear Drag and Inelastic Collision — Distance, Impact Speed, Energy Loss, Rise Height

Rolling Sphere on an Inclined Plane — Inertia, Rotation Equation, Energy, and Timing

Point matériel sur un cône — équations du mouvement, moment cinétique, énergie

Oscillateur dans un train — forces d inertie équations du mouvement et périodes

Système pendule et ressorts — équilibres stabilité et petites oscillations

Le système réunit un pendule simple et deux ressorts horizontaux identiques. On étudie l énergie potentielle totale gravité plus élasticité. Les ressorts sont détendus lorsque l angle est nul. Les positions d équilibre résultent des extrema de l énergie potentielle. L angle nul est toujours un équilibre stable. L angle opposé est stable seulement si la raideur dépasse le poids réduit. Deux équilibres en hauteur existent mais restent instables. La stabilité se vérifie par la dérivée seconde positive de l énergie. Autour de l angle nul le mouvement est harmonique. La pulsation des petites oscillations combine gravité et ressorts

Billes oscillant dans un tube — équations du mouvement, centre de masse et énergie

Phénomènes des marées explication mécanique newtonienne

Tube en rotation avec ressort exercice corrigé mécanique.

Roue en rotation uniforme et précession