1. Logique et ensembles – AN1

Théorie AN1

1 Algèbre des ensembles 1.1.1 Opérations fondamentales sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Propriétés des opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Opérations logiques fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Propriétés associatives et distributives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Propriétés associatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Propriétés distributives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Évaluation des différences ensemblistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Cardinalité de l’ensemble des parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Représentation ensembliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Injectivité, surjectivité et bijectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Propriétés et implications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Ensemble de définition d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.2 Fonction strictement croissante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.4 Fonction strictement décroissante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2025 – Rappels théorique

Ensembles et logique Algèbre des ensembles Algèbre des ensembles L’algèbre des ensembles est une branche des mathématiques qui étudie les propriétés et les relations entre des collections d’objets appelées ensembles. Un ensemble est une entité abstraite définie par ses éléments, notés entre accolades, par exemple A = {1, 2, 3}. L’univers de référence, noté Ω, est l’ensemble contenant tous les éléments possibles dans un contexte donné. Les opérations sur les ensembles permettent de construire de nouveaux ensembles à partir d’ensembles existants, formant ainsi une structure algébrique. Opérations fondamentales sur les ensembles Soient A et B deux ensembles dans un univers Ω. Les opérations de base sont les suivantes : L’union de A et B , notée A ∪ B , est l’ensemble des éléments appartenant à A , à B , ou aux deux : A ∪ B = {x ∈ Ω | x ∈ A ou x ∈ B }. L’intersection de A et B , notée A ∩ B , est l’ensemble des éléments communs à A et B : A ∩ B = {x ∈ Ω | x ∈ A et x ∈ B }. Le complément de A dans Ω, noté A ou A c , est l’ensemble des éléments de Ω qui n’appartiennent pas à A = {x ∈ Ω | x ∉ A}. La différence de A par B , notée A \ B , est l’ensemble des éléments de A qui ne sont pas dans B : A \ B = {x ∈ Ω | x ∈ A et x ∉ B }. Différence symétrique La différence symétrique de A et B , notée A△B , est l’ensemble des éléments appartenant à A ou à B , mais A△B = (A ∪ B ) \ (A ∩ B ). 2025 – Rappels théorique Ensembles et logique Propriétés des opérations sur les ensembles Les opérations sur les ensembles possèdent des propriétés algébriques fondamentales : ii. Associativité : (A ∪ B ) ∪C = A ∪ (B ∪ C ), (A ∩ B ) ∩C = A ∩ (B ∩ C ). iii. Distributivité : A ∪ (B ∩C ) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪C ), A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ). iv. Loi de De Morgan : Opérations logiques fondamentales L’algèbre des ensembles est en correspondance bijective avec la logique propositionnelle. Soient p et q des propositions associées aux ensembles A et B (où x ∈ A si p est vraie pour x , et x ∈ B si q est vraie pour x ). Les opérations logiques de base sont : • Disjonction (ou) : p ∨ q est vraie si p ou q (ou les deux) est vraie, correspondant à A ∪ B . • Conjonction (et) : p ∧ q est vraie si p et q sont toutes deux vraies, correspondant à A ∩ B . • Négation (non) : ¬p est vraie si p est fausse, correspondant à A . • Implication : p → q équivaut à ¬p ∨ q , correspondant à A ∪ B . Pour illustrer, voici les tables de vérité : L’algèbre des ensembles et les opérations logiques forment la base de nombreux domaines, notamment la théorie des probabilités, l’informatique et la logique formelle. Leur structure cohérente et leurs propriétés permettent de modéliser des relations complexes de manière rigoureuse. Propriétés associatives et distributives Soient A , B et C trois ensembles dans un univers U . Nous examinons ici les propriétés associatives et distributives des opérations de complément, d’intersection (∩) et de réunion (∪).

2025 – Rappels théorique Ensembles et logique Propriétés associatives Les opérations d’intersection et de réunion sont associatives, mais le complément ne l’est pas au sens Associativité de la réunion Pour tous ensembles A , B , C : (A ∪ B ) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) Associativité de l’intersection Pour tous ensembles A , B , C : (A ∩ B ) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) Complément et associativité Le complément n’est pas une opération associative au sens où (A c )c = A , mais il n’y a pas de notion directe d’associativité avec trois ensembles sans combiner avec d’autres opérations. Propriétés distributives Les opérations d’intersection et de réunion sont distributives l’une par rapport à l’autre. Le complément interagit via les lois de De Morgan. Distributivité de l’intersection sur la réunion Pour tous ensembles A , B , C : A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩C ) Distributivité de la réunion sur l’intersection Pour tous ensembles A , B , C : A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪C ) Complément et lois de De Morgan Le complément distribue indirectement via : (A ∪ B )c = A c ∩ B c (A ∩ B )c = A c ∪ B c (A ∪ B ∪C )c = A c ∩ B c ∩ C c (A ∩ B ∩ C )c = A c ∪ B c ∪ C c Pour trois ensembles : Les propriétés associatives s’appliquent à ∪ et ∩, tandis que les propriétés distributives lient ∪ et ∩. Le complément joue un rôle via les lois de De Morgan, mais n’est pas associatif ou distributif au sens classique. Évaluation des différences ensemblistes Soient A , B et C trois ensembles dans un univers U . Nous déterminons ici la valeur des expressions A\(B ∪C ) et A \ (B ∩C ), où \ désigne la différence ensembliste, en utilisant des définitions formelles et des propriétés

2025 – Rappels théorique Ensembles et logique • Réunion : B ∪C = {x ∈ U | x ∈ B ou x ∈ C } • Intersection : B ∩C = {x ∈ U | x ∈ B et x ∈ C } • Différence : A \ X = {x ∈ U | x ∈ A et x ∉ X } • Complément : X c = {x ∈ U | x ∉ X } Définition et équivalence L’expression A \ (B ∪C ) représente les éléments de A qui n’appartiennent pas à B ∪ C : A \ (B ∪C ) = {x ∈ U | x ∈ A et x ∉ B ∪ C } Puisque x ∉ B ∪ C équivaut à x ∉ B et x ∉ C , on a : A \ (B ∪C ) = {x ∈ U | x ∈ A et x ∉ B et x ∉ C } En termes de complément : A \ (B ∪ C ) = A ∩ (B ∪ C )c Par la loi de De Morgan, (B ∪C )c = B c ∩C c , donc : A \ (B ∪ C ) = A ∩ B c ∩ C c Définition et équivalence L’expression A \ (B ∩C ) représente les éléments de A qui n’appartiennent pas à B ∩ C : A \ (B ∩C ) = {x ∈ U | x ∈ A et x ∉ B ∩ C } Puisque x ∉ B ∩C équivaut à x ∉ B ou x ∉ C (par la logique de l’intersection), on peut utiliser le complément : A \ (B ∩ C ) = A ∩ (B ∩ C )c Par la loi de De Morgan, (B ∩C )c = B c ∪C c , donc : A \ (B ∩ C ) = A ∩ (B c ∪ C c ) Les expressions se réécrivent comme suit : • A \ (B ∪ C ) = A ∩ B c ∩C c , les éléments de A absents de B et de C . • A \ (B ∩ C ) = A ∩ (B c ∪C c ), les éléments de A qui ne sont pas simultanément dans B et C . Ces résultats découlent directement des définitions et des lois de De Morgan. Parties d’un ensemble Soit E un ensemble donné. Une partie de E est un ensemble A tel que tout élément de A appartient à E , A ⊆ E ⇐⇒ ∀x ∈ A, x ∈ E . L’ensemble des parties de E , noté P (E ) ou 2E , est l’ensemble de tous les sous-ensembles possibles de E , incluant l’ensemble vide ; et E lui-même.

2025 – Rappels théorique Ensembles et logique Cardinalité de l’ensemble des parties Si E est un ensemble fini avec |E | = n éléments (où n ∈ N), alors le nombre de parties de E est donné par : Cela découle du fait que pour chaque élément x ∈ E , il existe deux choix possibles : x appartient ou non à une partie donnée. Avec n éléments, le nombre total de combinaisons est 2 × 2 × · · · × 2 = 2n . Soit E = {a, b}, avec |E | = 2. Alors : et |P (E )| = 22 = 4. 1. ; ⊆ E et E ⊆ E sont toujours vrais. 2. Si A ⊆ E et B ⊆ E , alors : 3. L’ensemble P (E ) forme un treillis sous les opérations d’union et d’intersection, avec ; comme élément minimal et E comme élément maximal. Représentation ensembliste Pour un ensemble fini E = {e 1 , e 2 , . . . , e n }, une partie A ⊆ E peut être représentée par un vecteur binaire (b 1 , b 2 , . . . , b n ) ∈ {0, 1}n , où : Ainsi, P (E ) est en bijection avec {0, 1}n , confirmant que |P (E )| = 2n .

2025 – Rappels théorique Ensembles et logique Injectivité, surjectivité et bijectivité Dans le cadre de la théorie des ensembles et de l’analyse mathématique, les notions d’injectivité, de surjectivité et de bijectivité sont fondamentales pour caractériser les propriétés des fonctions entre deux ensembles. Cet article fournit une description rigoureuse de ces concepts, accompagnée de définitions formelles, de propriétés et d’exemples. Définitions formelles Soient A et B deux ensembles non vides, et f : A → B une fonction définie de A dans B . Une fonction f : A → B est dite injective si, pour tout x 1 , x 2 ∈ A , l’égalité f (x1 ) = f (x 2 ) implique x 1 = x 2 . En d’autres termes, f est injective si elle associe des éléments distincts de A à des éléments distincts de f (x 1 ) = f (x 2 ) ⇒ x 1 = x 2 . Une fonction injective est également appelée une injection. Une fonction f : A → B est dite surjective si, pour tout y ∈ B , il existe au moins un x ∈ A tel que f (x) = y . Autrement dit, l’image de f , notée f (A), est égale à l’ensemble d’arrivée B . Formellement : ∀y ∈ B, ∃x ∈ A tel que f (x) = y. Une fonction surjective est également appelée une surjection. Une fonction f : A → B est dite bijective si elle est à la fois injective et surjective. Cela signifie que chaque élément de B est l’image d’exactement un élément de A . Une fonction bijective établit une correspondance univoque (ou bijection) entre A et B . Formellement, f est bijective si : • elle est injective : ∀x 1 , x 2 ∈ A, f (x 1 ) = f (x 2 ) ⇒ x 1 = x 2 , • elle est surjective : ∀y ∈ B, ∃x ∈ A tel que f (x) = y . Propriétés et implications • Une fonction injective admet une inverse à gauche, définie sur f (A) ⊆ B . • Si f : A → B est injective, alors |A| ≤ |B | (où |A| désigne la cardinalité de A ). • L’injectivité garantit qu’il n’y a pas de « collision » dans les images. • Une fonction surjective admet une inverse à droite, bien que cette inverse ne soit pas nécessairement • Si f : A → B est surjective, alors |A| ≥ |B |. • La surjectivité assure que tout élément de B est atteint.

2025 – Rappels théorique Ensembles et logique • Une fonction bijective admet une inverse unique, notée f −1 : B → A , telle que f ◦ f −1 = idB et f −1 ◦ f = id A , où id X est l’application identité sur X . • Si f : A → B est bijective, alors |A| = |B |. • Une bijection établit une équivalence cardinale entre A et B . Exemple d’une fonction injective Soit f : R → R définie par f (x) = 2x . Pour x 1 , x 2 ∈ R, si f (x 1 ) = f (x 2 ), alors 2x 1 = 2x 2 , donc x1 = x2 . Ainsi, f est injective. Cependant, f n’est pas surjective, car f (R) = R ne couvre pas, par exemple, les nombres négatifs avec une définition restreinte. Exemple d’une fonction surjective Soit g : R → [0, +∞[ définie par g (x) = x 2 . Pour tout y ∈ [0, +∞[, il existe x = y tel que g (x) = y . Ainsi, g est surjective. Cependant, g n’est pas injective, car g (−1) = g (1) = 1. Exemple d’une fonction bijective Soit h : R → R définie par h(x) = x + 3. • Injectivité : si h(x 1 ) = h(x 2 ), alors x 1 + 3 = x 2 + 3, donc x 1 = x 2 . • Surjectivité : pour tout y ∈ R, il existe x = y − 3 tel que h(x) = y . Ainsi, h est bijective, et son inverse est h −1 (y) = y − 3. Les notions d’injectivité, de surjectivité et de bijectivité permettent de classer les fonctions selon leurs comportements structurels. Ces propriétés sont essentielles en mathématiques pures et appliquées, notamment en algèbre, en analyse et en théorie des ensembles.

2025 – Rappels théorique Ensembles et logique Ensemble de définition d’une fonction Dans le cadre de l’analyse mathématique, l’ensemble de définition d’une fonction est un concept fondamental qui détermine les valeurs pour lesquelles une fonction est bien définie. Cet ensemble, souvent noté D f , constitue le domaine où la fonction f peut être évaluée sans ambiguïté ni indétermination. Cette section présente une description rigoureuse et formelle de ce concept, accompagnée d’exemples techniques. Définition Formelle Soit une fonction f : X → Y définie entre deux ensembles X et Y . L’ensemble de définition de f , noté D f , est l’ensemble des éléments x ∈ X pour lesquels l’expression de f (x) est mathématiquement valide dans Y . D f = {x ∈ X | f (x) est bien défini dans Y }. Cet ensemble peut être contraint par des considérations algébriques, analytiques ou géométriques, selon la Propriétés Générales • D f ⊆ X , où X est l’ensemble de départ présumé. • Si f est définie par une expression explicite, D f est déterminé par les restrictions imposées par cette expression (e.g., division par zéro, racines de nombres négatifs dans R). • Dans le cas où X est un espace topologique et f une fonction continue, D f peut être un sous-ensemble ouvert ou fermé selon les conditions de continuité. Exemples Illustratifs Fonction Rationnelle Considérons la fonction f : R → R définie par : L’expression est indéfinie lorsque le dénominateur s’annule, i.e., x − 2 = 0, soit x = 2. Ainsi, l’ensemble de D f = R \ {2} = (−∞, 2) ∪ (2, +∞). Fonction avec Racine Carrée Soit g : R → R définie par : Pour que g (x) soit réel, l’argument de la racine doit être non négatif : L’ensemble de définition est donc :

2025 – Rappels théorique Ensembles et logique Fonction Logarithmique Prenons h : R → R définie par : h(x) = ln(2x − 1). Le logarithme népérien est défini uniquement pour des arguments strictement positifs : Certaines fonctions présentent des ensembles de définition plus complexes : • Fonctions par morceaux : Si f (x) = , alors D f = R \{0}, car x1 n’est pas défini en x = 0. • Fonctions implicites : Pour f (x) solution de x 2 + f (x)2 = 1, on a f (x) = ± 1 − x 2 , et D f = [−1, 1]. L’ensemble de définition d’une fonction est une étape cruciale dans l’analyse de son comportement. Sa détermination nécessite une compréhension approfondie des contraintes inhérentes à l’expression de la fonction ainsi qu’une rigueur dans l’application des règles mathématiques. Les exemples ci-dessus illustrent la diversité des situations rencontrées en pratique.

2025 – Rappels théorique Ensembles et logique Parité et périodicité Soit f une application de R dans R. On dit que f est paire si(7) : La représentation graphique d’une fonction paire admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie. On dit que f est impaire si (7) : f (−x) = − f (x). La représentation graphique d’une fonction impaire admet l’origine du repère comme centre de symétrie. Fonction périodique On dit que f est périodique s’il existe un réel T stricfement positif tel que (8) On appelle période (fondamentale) de f le plus petit réel T strictement postif, s’il existe (9) , satisfaisant la relation précédente. Soient D un sous-ensemble non vide de R et f une application de D dans R. On dit que f est croissante sur D si ∀ (x 1 , x 2 ) ∈ D 2 x 1 ⩽ x 2 =⇒ f (x 1 ) ⩽ f (x 2 ) . Fonction strictement croissante On dit que f est strictement croissante sur D si ∀ (x 1 , x 2 ) ∈ D 2 x 1 < x 2 =⇒ f (x 1 ) < f (x 2 ) . Fonction décroissante On dit que f est décroissante sur D si ∀ (x 1 , x 2 ) ∈ D 2 x 1 ⩽ x 2 =⇒ f (x 1 ) ⩾ f (x 2 ) . Fonction strictement décroissante On dit que f est strictement décroissante sur D si ∀ (x 1 , x 2 ) ∈ D 2 x 1 < x 2 =⇒ f (x 1 ) > f (x 2 )

2025 – Rappels théorique Ensembles et logique On dit que f est monotone sur D si f est croissante sur D ou si f est décroissante sur D , autrement dit si ∀ (x 1 , x 2 ) ∈ D 2 x ⩽ x 2 =⇒ f (x 1 ) ⩽ f (x 2 ) x 1 ⩽ x 2 =⇒ f (x 1 ) ⩾ f (x 2 ) .

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