3. Nombres complexes – AN3
Théorie – AN3
Cette note présente les nombres complexes, nés au seizième siècle pour résoudre des équations polynomiales sans solution réelle. Un nombre complexe s’écrit comme une partie réelle et une partie imaginaire, et l’ensemble des complexes étend les réels. Les représentations usuelles sont la forme algébrique, la forme polaire avec module et argument, et la forme exponentielle, utiles selon les calculs. Les opérations d’addition, de multiplication et de division se décrivent simplement, notamment via le conjugué pour rationaliser un quotient. Le module mesure la distance à l’origine et l’argument l’angle, avec des propriétés de compatibilité avec les produits. Le théorème de Moivre relie puissances et angles et permet de traiter efficacement les calculs trigonométriques. Les racines nièmes d’un complexe se répartissent régulièrement sur le cercle correspondant. Les applications couvrent l’analyse complexe, l’électromagnétisme, la mécanique quantique, le traitement du signal et la géométrie des rotations. Le théorème fondamental de l’algèbre affirme que tout polynôme non constant à coefficients complexes possède au moins une racine complexe. Une idée de preuve consiste à étudier le module du polynôme, qui atteint un minimum sur un disque fermé, et à montrer qu’en l’absence de racine ce minimum conduit à une contradiction. L’ensemble offre un cadre unifié, puissant et géométriquement intuitif pour de nombreux problèmes mathématiques et physiques.
3.1.2 Utilité et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Représentations des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5 Opérations arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Addition et soustraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conjugaison et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.7 Théorèmes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.8 Applications avancées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Théorème fondamental de l’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Rappel de quelques notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Démonstration intuitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comportement pour |z| grand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Contradiction par l’absence de racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2026 – Rappels théorique
AccueilLes nombres complexes émergent au XVIe siècle dans le contexte de la résolution d’équations polynomiales. L’équation x 2 + 1 = 0, qui n’a pas de solution dans R, conduit à l’introduction de l’unité imaginaire i telle que i 2 = −1. Gerolamo Cardano et Rafael Bombelli sont parmi les premiers à manipuler ces nombres, bien que leur nature reste controversée jusqu’au XVIIIe siècle. Les travaux de Leonhard Euler, avec la formule e i θ = cos θ +i sin θ, et de Carl Friedrich Gauss, qui formalise leur représentation géométrique, consacrent leur légitimité. Utilité et applications Les nombres complexes sont fondamentaux dans de nombreux domaines : a. Mathématiques : résolution d’équations polynomiales, analyse complexe. b. Physique : mécanique quantique (fonctions d’onde), électromagnétisme (impédance). c. Ingénierie : traitement du signal, analyse de Fourier. Ils permettent de modéliser des phénomènes oscillatoires et de simplifier des calculs autrement ardus Définition formelle Définition 3.1.1. Un nombre complexe z est une expression de la forme z = a + bi , où a, b ∈ R et i satisfait i 2 = −1. L’ensemble des nombres complexes est noté C. • a = Re(z) : partie réelle. • b = Im(z) : partie imaginaire. Représentations des nombres complexes La forme z = a +bi est la plus intuitive et sert de base aux opérations arithmétiques. Elle correspond à un point (a, b) dans le plan complexe. 2026 – Rappels théorique Définition 3.1.2. La forme polaire de z ̸= 0 est z = r (cos θ + i sin θ), où : – r = |z| = a 2 + b 2 est le module. – θ = arg(z) est l’argument, déterminé par cos θ = ar , sin θ = br . Le choix de θ dépend du quadrant de (a, b) : – Si a > 0, θ = arctan ba . – Si a < 0, ajuster θ avec Définition 3.1.3. La forme exponentielle est z = r e i θ , où e i θ = cos θ + i sin θ (formule d’Euler). Opérations arithmétiques Addition et soustraction Pour z 1 = a 1 + b 1 i , z 2 = a 2 + b 2 i : z 1 ± z 2 = (a 1 ± a 2 ) + (b 1 ± b 2 )i En forme algébrique : z 1 z 2 = (a 1 + b 1 i )(a 2 + b 2 i ) = (a 1 a 2 − b 1 b 2 ) + (a 1 b 2 + a 2 b 1 )i En forme exponentielle : z 1 z 2 = r 1 r 2 e i (θ1 +θ2 ) En forme algébrique, utiliser le conjugué de z 2 : z 1 a 1 + b 1 i (a 1 a 2 + b 1 b 2 ) + (a 2 b 1 − a 1 b 2 )i En forme exponentielle : z 1 r 1 i (θ1 −θ2 ) Conjugaison et propriétés Définition 3.1.4. Le conjugé de z = a + bi est z = a − bi . Propriétés : – z + z = 2a . – zz = a 2 + b 2 = |z|2 . – z 1 z 2 = z 1 z 2 . Définition 3.1.5. Le module de z = a + bi est |z| = a 2 + b 2 , la distance à l’origine dans le plan Propriétés : – |z 1 z 2 | = |z 1 ||z 2 |. – |z| = |z|.
Accueil2026 – Rappels théorique Définition 3.1.6. L’argument de z ̸= 0 est θ tel que z = |z|e i θ , unique à 2π près. L’argument principal est dans (−π, π]. Théorèmes fondamentaux Théorème de Moivre Théorème 3.1.7. Pour tout n ∈ Z, (cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ). Les racines n-ièmes de z = r e i θ sont : k = 0, 1, . . . , n − 1 Applications avancées Les nombres complexes permettent l’étude des fonctions holomorphes, avec des théorèmes comme En mécanique quantique, l’état d’une particule est décrit par ψ = a + bi , où |ψ|2 est la densité de Les rotations dans le plan sont représentées par z 7→ e i α z . Les nombres complexes enrichissent les mathématiques en étendant R à un corps algébriquement clos, avec des applications vastes et profondes. Théorème fondamental de l’algèbre Théorème 3.2.1. Le Théorème Fondamental de l’Algèbre garantit que tout polynôme de degré n ≥ 1 à coefficients complexes admet au moins une racine dans C. La démonstration, due à Cauchy, qui repose sur des concepts de continuité, de compacité et de perturbation locale, est particulièrement remarquable pour son élégance et son accessibilité. 1 1. Cette démonstration est en hors des limites du cours d’analyse I, mais pas difficile et intuitive
Accueil2026 – Rappels théorique Rappel de quelques notions Avant d’aborder la démonstration, clarifions quelques concepts essentiels : • Polynômes : Une fonction de la forme P (z) = a n z n + a n−1 z n−1 + · · · + a 1 z + a 0 , où a i ∈ C et • Racines : Un nombre α ∈ C tel que P (α) = 0. • Continuité et compacité : Les polynômes sont continus sur C, et les disques fermés dans C (vu comme R2 ) sont compacts. 2 • Module : Pour z ∈ C, |z| représente sa distance à l’origine. Démonstration intuitive La démonstration repose sur l’analyse du module |P (z)| dans le plan complexe. Comportement pour |z| grand Lorsque |z| devient très grand, le terme dominant est a n z n , donc : |P (z)| ≈ |a n ||z|n → ∞ lorsque |z| → ∞. Sur un disque fermé D R = {z ∈ C | |z| ≤ R} assez grand : • |P (z)| atteint son minimum en un point z 0 ∈ D R (par compacité et continuité). • Pour R suffisamment grand, |P (z)| est grand sur la frontière |z| = R , donc le minimum est atteint à l’intérieur. Contradiction par l’absence de racine Supposons P (z) ̸= 0 partout, alors |P (z 0 )| > 0 au point de minimum. Cauchy montre qu’il existe un z 1 près de z 0 tel que |P (z 1 )| < |P (z 0 )|, ce qui contredit la minimalité de z 0 . Ainsi, p doit avoir une 2. Un compact est un ensemble fermé et borné, càd qui contient toutes les limites de ses suites et qui forme un disque de rayon fermé.
Accueil[1] Walter Rudin. Real and Complex Analysis. McGraw-Hill, 1987.
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