Exercices – AN2
Cette série d’exercices aborde d’abord des preuves d’irrationalité, en particulier pour des racines célèbres, par des raisonnements par l’absurde. Elle enchaîne avec l’étude d’un intervalle demi-ouvert, pour identifier borne supérieure et borne inférieure, et discuter l’existence d’un maximum et d’un minimum. Un ensemble varié d’exemples demande ensuite de déterminer si des sous-ensembles des réels sont majorés, minorés ou bornés, puis de calculer supremum, infimum et, le cas échéant, les extrêmes atteints. Une partie est consacrée à la réécriture d’ensembles définis par des inégalités en notation d’intervalles, en s’appuyant sur la maîtrise des valeurs absolues et des conditions polynomiales. La série traite aussi des écritures décimales, avec la preuve de l’égalité entre un développement périodique particulier et un entier, la conversion de décimaux (finis ou périodiques) en fractions, ainsi que la production d’un développement décimal non trivial. Un questionnaire vrai-faux invite à raisonner sur les sommes de rationnels et d’irrationnels, et sur les distinctions entre existence d’un maximum et existence d’un supremum. Il met également en lumière le cas où la borne supérieure coïncide avec la borne inférieure et ses conséquences sur la structure de l’ensemble. La dernière partie demande de ramener des expressions complexes à la forme standard, en mobilisant puissances, identités algébriques et utilisation du conjugué pour les quotients. L’ensemble consolide la compréhension des intervalles et des bornes, du lien entre décimaux périodiques et rationnels, et des opérations de base dans le corps des complexes. Au fil des exercices, les méthodes classiques sont mobilisées : raisonnement par l’absurde, encadrement, réécritures d’inégalités et calculs algébriques précis.