Exercices – AN3
Cette série porte sur les nombres complexes et les suites numériques.
- On y calcule parties réelle, imaginaire, conjugué, argument et inverse.
- Les exercices incluent la mise en forme cartésienne et polaire, la résolution d’équations et l’étude de polynômes.
- La seconde partie introduit convergence, bornitude et monotonie des suites.
- Elle constitue une transition entre calcul complexe et analyse des suites.
Cette série d’exercices développe les outils de base des nombres complexes et introduit des liens avec l’étude des suites. Elle commence par le calcul des parties réelle et imaginaire, du conjugué, de l’argument et de l’inverse de nombres complexes donnés. Elle demande ensuite d’établir des formules générales pour l’argument selon le quadrant et de démontrer des propriétés fondamentales du conjugué, y compris son lien avec l’exponentielle. Plusieurs expressions complexes sont à réécrire sous forme cartésienne et polaire, ce qui permet de manipuler efficacement les identités et les fractions. Un ensemble d’équations complexes est à résoudre, mobilisant les racines nièmes, les équations quadratiques et les identités algébriques. Les polynômes sont étudiés à travers la symétrie de leurs racines, la factorisation en irréductibles et l’identification de racines données. La série inclut aussi des rappels d’analyse, comme la formule d’addition du sinus ou une caractérisation des complexes dont la somme avec leur inverse est réelle. Des questions de type vrai ou faux testent la compréhension des relations entre module, partie réelle et exponentielle. Enfin, la série introduit des exercices sur les suites numériques, en particulier la définition de suites bornées et l’étude détaillée des suites géométriques selon la valeur du rapport. L’ensemble consolide les compétences en calcul complexe et amorce l’analyse des suites en vue des développements ultérieurs.