2. Ensembles de nombres – AN2
Théorie – AN2
Ensembles de nombres
Cette note présente la classification des ensembles de nombres et les liens entre leurs propriétés. Elle commence par les naturels, définis à partir des axiomes de Peano, puis formalise l’addition et la multiplication et rappelle le principe de récurrence comme outil de preuve. Elle introduit ensuite les rationnels comme fractions d’entiers, leur écriture réduite, leur structure de corps ordonné et leur densité parmi les réels, tout en soulignant leur non-complétude. Les réels sont construits comme le complété des rationnels (par coupures ou suites de Cauchy), forment un corps totalement ordonné et complet, et contiennent à la fois rationnels et irrationnels. Les intervalles y sont décrits avec précision, ainsi que les notions de borne supérieure, borne inférieure, supremum, infimum, maximum et minimum, avec des exemples pour les cas ouverts, fermés, semi-ouverts et non bornés. La propriété archimédienne est énoncée et illustrée, mettant en évidence la possibilité de dépasser toute grandeur par des multiples d’une autre. La note rappelle aussi l’ensemble des parties et la croissance du nombre de sous-ensembles pour un ensemble fini. Enfin, elle introduit les nombres complexes, leurs représentations algébrique, polaire et exponentielle, ainsi que les opérations usuelles, la conjugaison, le module et l’argument, en évoquant des applications en mathématiques, physique et ingénierie. L’ensemble fournit un panorama structuré des principaux ensembles numériques et des outils qui les accompagnent.
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Table des matières
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2 Ensembles de nombres
2.1 Les nombres naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Axiomes de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Opérations sur les nombres naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Démonstration du principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Applications du principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Les nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Définition et propriétés fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Définition des nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Représentation et équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Structure algébrique de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Propriétés de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ordre sur Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Théorèmes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Densité des Rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Non-complétude de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Ensemble des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Définition formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Propriétés d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Propriétés topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.5 Représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Définitions des intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Intervalles bornés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Intervalles non bornés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Notions de borne supérieure et borne inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Borne inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Supremum et Infimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Supremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Infimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4 Maximum et Minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2025 – Rappels théorique
2.5
Sujet 2
Ensembles de nombres
Intervalle fermé [a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Intervalle ouvert (a, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Intervalle semi-ouvert [a, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Intervalle non borné [a, +∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.6 Propriétés des intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.8 Propriété archimédienne des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.9 Énoncé de la propriété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.10 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Origine historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Utilité et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Définition formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4 Représentations des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Forme algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Forme polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Forme exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.5 Opérations arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Addition et soustraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conjugaison et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.6 Module et argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.7 Théorèmes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Racines n-ièmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.8 Applications avancées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Analyse complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.9 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
06/07/2026
Accueil9 9 9 9 9 10 10 10 10 10 10 10 10 10 11 11 11 11 11 11 11 11 11 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 2/13 Théorie 2 Ensembles de nombres Les nombres constituent la base des mathématiques, et leur classification en ensembles distincts est essentielle pour en comprendre les propriétés. Ce document explore les relations entre les nombres réels, rationnels et décimaux, en détaillant leurs définitions, leurs propriétés et leurs inclusions. Des exemples et contre-exemples illustrent ces concepts. 2.1 Les nombres naturels Les nombres naturels sont les nombres entiers positifs, commençant par 0 ou 1 selon les conventions. Ils sont fondamentaux en mathématiques car ils servent de base pour la construction des autres ensembles de nombres, comme les entiers relatifs, les rationnels, les réels, etc. Dans ce document, nous allons définir les nombres naturels de manière rigoureuse à partir des axiomes de Peano, puis nous définirons les opérations de base telles que l’addition et la multiplication, et enfin nous démontrerons le principe de récurrence, qui est un outil essentiel pour travailler avec les nombres naturels. 2.1.1 Axiomes de Peano Les axiomes de Peano, nommés d’après le mathématicien italien Giuseppe Peano, sont un ensemble d’axiomes qui définissent les propriétés des nombres naturels. Voici les axiomes : • 0 est un nombre naturel. • Pour tout nombre naturel n , il existe un successeur, noté succ(n), qui est également un nombre naturel. • 0 n’est le successeur d’aucun nombre naturel. • Si deux nombres naturels ont le même successeur, alors ils sont égaux. Autrement dit, pour tous n, m ∈ N, si succn) = succ(m), alors n = m . • (Axiome de récurrence) Soit P une propriété sur les nombres naturels. Si P (0) est vraie et si pour tout n ∈ N, P (n) implique P (succ(n)), alors P (n) est vraie pour tout n ∈ N. Ces axiomes capturent l’idée intuitive des nombres naturels : on commence par 0, et on peut toujours passer au nombre suivant en ajoutant 1. 2.1.2 Opérations sur les nombres naturels Addition L’addition de deux nombres naturels peut être définie de manière récursive en utilisant les axiomes de Peano. Pour tout nombre naturel n , on définit : • n +0 = n 3 2025 – Rappels théorique Sujet 2 Ensembles de nombres • n + succ(m) = succ(n + m) Cette définition signifie que pour ajouter 0 à un nombre, on obtient le nombre lui-même, et pour ajouter le successeur d’un nombre m à n , on prend le successeur de la somme de n et m . Multiplication De même, la multiplication peut être définie récursivement. Pour tout nombre naturel n , on définit : • n ×0 = 0 • n × succ(m) = n × m + n Ainsi, multiplier par 0 donne 0, et multiplier par le successeur d’un nombre m revient à ajouter n à la multiplication de n par m . Ces définitions permettent de prouver diverses propriétés des opérations, comme la commutativité, l’associativité, etc., mais cela dépasse le cadre de ce document. 2.1.3 Principe de récurrence Le principe de récurrence est un outil fondamental en théorie des nombres et en mathématiques discrètes. Il est énoncé comme suit : Principe de récurrence : Soit P (n) une propriété définie pour tout nombre naturel n . Si les deux conditions suivantes sont satisfaites : • P (0) est vraie. • Pour tout n ∈ N, si P (n) est vraie, alors P (succ(n)) est vraie. Alors, P (n) est vraie pour tout n ∈ N. Ce principe est en fait l’un des axiomes de Peano, mais il peut également être démontré à partir des autres axiomes si on les ajuste légèrement. Cependant, dans le cadre de ce document, nous considérerons le principe de récurrence comme un axiome. Démonstration du principe de récurrence En réalité, dans la formulation standard des axiomes de Peano, le principe de récurrence est pris comme axiome. Cependant, on peut le démontrer si on suppose d’autres propriétés, comme l’existence d’un ensemble qui satisfait les autres axiomes et qui est minimal au sens de l’inclusion. Pour simplifier, nous accepterons le principe de récurrence comme axiome dans ce document. 2.1.4 Applications du principe de récurrence Le principe de récurrence est utilisé pour prouver de nombreuses propriétés des nombres naturels. Voici un exemple simple : Exemple : Prouver que pour tout n ∈ N, la somme des n premiers nombres naturels est n(n+1) . 2 Pn n(n+1) Soit P (n) la propriété : k=0 k = 2 . • Pour n = 0, P0 k=0 k = 0 = 0×1 2 = 0, donc P (0) est vraie. • Supposons que P (n) soit vraie pour un certain n ∈ N, c’est-à-dire on a : succ X(n) k= k=0 n X k=0 k + succ(n) = Pn k=0 k = n(n+1) . Alors, pour succ(n), 2 n(n + 1) + succ(n) 2 Or, puisque succ(n) = n + 1, on a : n(n + 1) n(n + 1) + 2(n + 1) (n + 1)(n + 2) + (n + 1) = = 2 2 2 ce qui montre que P (succ(n)) est vraie. 06/07/2026
Accueil4/13 2025 – Rappels théorique Sujet 2 Ensembles de nombres Par le principe de récurrence, P (n) est vraie pour tout n ∈ N. Cet exemple illustre comment le principe de récurrence permet de prouver des formules qui seraient autrement difficiles à établir. 2.1.5 Conclusion Les nombres naturels, définis à partir des axiomes de Peano, forment la base de l’arithmétique. Les opérations de base comme l’addition et la multiplication peuvent être définies de manière récursive, et le principe de récurrence est un outil puissant pour prouver des propriétés sur ces nombres. Ce document a présenté ces concepts de manière rigoureuse et a illustré leur utilisation à travers un exemple simple. 2.2 Les nombres rationnels 2.2.1 Définition et propriétés fondamentales Définition des nombres rationnels Définition 2.2.1. Un nombre rationnel est un nombre qui peut être exprimé sous la forme d’une fraction ba , où a ∈ Z (ensemble des entiers relatifs) et b ∈ Z \ {0} (entiers non nuls). L’ensemble des nombres rationnels est noté Q. 0 Exemple 1. Les nombres 34 , −2 = −2 1 , et 0 = 1 sont des nombres rationnels. Représentation et équivalence Les nombres rationnels admettent plusieurs représentations fractionnaires. Deux fractions ba et dc représentent le même nombre rationnel si et seulement si ad = bc . ′ Définition 2.2.2. La forme réduite d’un nombre rationnel ba est la fraction ba ′ où gcd(|a|, |b|) = 1 (le plus grand commun diviseur de |a| et |b| est 1) et b ′ > 0. 2.2.2 Structure algébrique de Q Propriétés de corps L’ensemble Q est un corps commutatif, c’est-à-dire qu’il est muni de deux opérations, l’addition et la multiplication, satisfaisant les propriétés suivantes : • Addition : Q est un groupe abélien pour l’addition, avec l’élément neutre 0. • Multiplication : Q \ {0} est un groupe abélien pour la multiplication, avec l’élément neutre 1. • Distributivité : La multiplication est distributive par rapport à l’addition. Théorème 2.2.3. L’ensemble Q est un corps totalement ordonné. Ordre sur Q L’ordre sur Q est défini tel que ba < dc si, après réduction à un dénominateur commun, on a ad < bc (avec b, d > 0). 2.2.3 Théorèmes fondamentaux Densité des Rationnels Théorème 2.2.4. Pour tous x, y ∈ R tels que x < y , il existe q ∈ Q tel que x < q < y . 06/07/2026
Accueil5/13 2025 – Rappels théorique Sujet 2 Ensembles de nombres Démonstration 1. Soient x < y réels. Il existe un entier n > 0 suffisamment grand tel que n1 < y − x . Considérons l’ensemble {k ∈ Z | k/n > x}. Cet ensemble est non vide (car les réels ne sont pas bornés supérieurement). Soit k le plus petit entier tel que k/n > x . Alors, (k − 1)/n ≤ x , et on a : x< k 1 ≤ x + < y, n n car n1 < y − x . Ainsi, q = nk convient. Non-complétude de Q Théorème 2.2.5. L’ensemble Q n’est pas complet : il existe des suites de Cauchy dans Q qui ne convergent pas vers un élément de Q. Exemple 2. La suite définie par x 1 = 1, x n+1 = p 2, qui n’est pas rationnel. 2.2.4 x n +2/x n 2 est une suite de Cauchy dans Q convergeant vers Conclusion Les nombres rationnels, bien que denses dans R, ne suffisent pas à décrire tous les phénomènes mathématiques, comme le montre leur incomplétude. Leur structure de corps ordonné et leurs propriétés de densité en font néanmoins un outil essentiel en analyse et en algèbre. 2.3 Ensemble des réels L’ensemble des nombres réels, noté R, est défini comme l’ensemble complet des nombres permettant de représenter toutes les quantités continues sur la droite numérique. Cet ensemble englobe les nombres rationnels (Q) et irrationnels, formant ainsi un corps totalement ordonné et complet au sens de la topologie de la droite réelle. 2.3.1 Définition formelle Soit R le complété de Q par rapport à la norme absolue usuelle |x − y|, obtenu via la construction des coupures de Dedekind ou des suites de Cauchy. Plus précisément : • Une coupure de Dedekind est une partition (A, B ) de Q telle que A ̸= ;, B ̸= ;, A ∪ B = Q, et ∀a ∈ A, ∀b ∈ B, a < b . L’ensemble R est alors l’ensemble de toutes les coupures. • Une suite de Cauchy dans Q est une suite (q n )n∈N telle que ∀ϵ > 0, ∃N ∈ N, ∀m, n > N , |q m − q n | < ϵ. L’ensemble R est le quotient de l’ensemble des suites de Cauchy par la relation d’équivalence qn ∼ r n si limn→∞ |qn − r n | = 0. 2.3.2 Propriétés algébriques L’ensemble R est un corps commutatif muni des opérations suivantes : • Addition : (x, y) 7→ x + y , avec élément neutre 0. • Multiplication : (x, y) 7→ x · y , avec élément neutre 1. • Inverse additif : ∀x ∈ R, ∃ − x tel que x + (−x) = 0. • Inverse multiplicatif : ∀x ∈ R \ {0}, ∃x −1 tel que x · x −1 = 1. De plus, R satisfait les thmes de distributivité et de commutativité. 06/07/2026
Accueil6/13 2025 – Rappels théorique 2.3.3 Sujet 2 Ensembles de nombres Propriétés d’ordre L’ensemble R est totalement ordonné par la relation ≤, vérifiant : • Réflexivité : ∀x ∈ R, x ≤ x . • Antisymétrie : ∀x, y ∈ R, x ≤ y et y ≤ x ⇒ x = y . • Transitivité : ∀x, y, z ∈ R, x ≤ y et y ≤ z ⇒ x ≤ z . • Totalité : ∀x, y ∈ R, x ≤ y ou y ≤ x . L’ordre est compatible avec les opérations : si x ≤ y , alors x + z ≤ y + z , et si 0 ≤ x et 0 ≤ y , alors 0 ≤ x · y . 2.3.4 Propriétés topologiques L’ensemble R est un espace métrique complet avec la distance euclidienne d (x, y) = |x − y|. Il possède les propriétés suivantes : • Complétude : Toute suite de Cauchy dans R converge vers un élément de R. • Borne atteinte : Tout sous-ensemble non vide et majoré de R admet une borne atteinte (suprémum), et tout sous-ensemble non vide et minoré admet un infimum. • Densité de Q dans R : Entre deux nombres réels distincts x < y , il existe un rationnel q tel que x < q < y. • Cardinalité : La puissance de R est 2ℵ0 , correspondant au continu, distincte de celle de Q (ℵ0 ). 2.3.5 Représentation L’ensemble R peut être représenté comme la droite réelle, un espace unidimensionnel orienté s’étendant de −∞ à +∞, incluant : • Les nombres entiers Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}. p • Les nombres rationnels Q = { q | p ∈ Z, q ∈ Z \ {0}}. p • Les nombres irrationnels, tels que 2, π, ou e . 2.4 Intervalles Les intervalles constituent une notion fondamentale en analyse réelle, car ils permettent de décrire des ensembles continus de nombres réels et servent de base à l’étude des propriétés des fonctions et des suites. Ce document explore les intervalles dans R, en mettant l’accent sur les concepts de supremum, infimum, maximum et minimum, avec des définitions rigoureuses et des exemples concrets. 2.4.1 Définitions des intervalles Un intervalle dans les nombres réels R est un ensemble qui contient tous les nombres réels compris entre deux éléments, appelés extrémités, avec une possible inclusion ou exclusion de ces extrémités. Les intervalles se divisent en deux grandes catégories : bornés et non bornés. Intervalles bornés Un intervalle est dit borné s’il est contenu dans un segment fini de R. Les types d’intervalles bornés sont : • Intervalle fermé : [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, incluant ses extrémités a et b . • Intervalle ouvert : (a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, excluant ses extrémités a et b . • Intervalles semi-ouverts : • [a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, incluant a mais excluant b . • (a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, excluant a mais incluant b . 06/07/2026
Accueil7/13 2025 – Rappels théorique Sujet 2 Ensembles de nombres Intervalles non bornés Un intervalle est non borné s’il s’étend à l’infini dans au moins une direction. Les types d’intervalles non bornés sont : • [a, +∞) = {x ∈ R | x ≥ a}. • (a, +∞) = {x ∈ R | x > a}. • (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b}. • (−∞, b) = {x ∈ R | x < b}. • (−∞, +∞) = R, l’ensemble des nombres réels. 2.4.2 Notions de borne supérieure et borne inférieure Pour analyser les intervalles, il est essentiel de définir les concepts de borne supérieure et inférieure d’un ensemble. Borne supérieure Soit S ⊆ R. Un réel M ∈ R est une borne supérieure de S si, pour tout x ∈ S , x ≤ M . L’ensemble S est dit borné supérieurement si une telle borne existe. Borne inférieure Un réel m ∈ R est une borne inférieure de S si, pour tout x ∈ S , m ≤ x . L’ensemble S est dit borné inférieurement si une telle borne existe. Si S est borné supérieurement et inférieurement, il est simplement dit borné. 2.4.3 Supremum et Infimum Les notions de supremum et d’infimum généralisent les concepts de borne supérieure et inférieure en identifiant les « meilleures » bornes possibles. Supremum Le supremum de S , noté sup S , est la plus petite borne supérieure de S , s’il existe. Formellement, M = sup S si : • M est une borne supérieure de S , i.e., x ≤ M pour tout x ∈ S ; • Pour toute borne supérieure M ′ < M , il existe x ∈ S tel que x > M ′ . Dans R, grâce à la propriété de complétude, tout ensemble non vide borné supérieurement possède un supremum. Infimum L’infimum de S , noté inf S , est la plus grande borne inférieure de S , s’il existe. Formellement, m = inf S si : • m est une borne inférieure de S , i.e., m ≤ x pour tout x ∈ S ; • Pour toute borne inférieure m ′ > m , il existe x ∈ S tel que x < m ′ . De même, tout ensemble non vide borné inférieurement dans R possède un infimum. 2.4.4 Maximum et Minimum Les notions de maximum et minimum concernent les éléments extrêmes effectivement présents dans l’ensemble. 06/07/2026
Accueil8/13 2025 – Rappels théorique Sujet 2 Ensembles de nombres Maximum Le maximum de S , noté max S , est le plus grand élément de S , s’il existe. Formellement, M = max S si M ∈ S et x ≤ M pour tout x ∈ S . Si max S existe, alors sup S = max S . Minimum Le minimum de S , noté min S , est le plus petit élément de S , s’il existe. Formellement, m = min S si m ∈ S et m ≤ x pour tout x ∈ S . Si min S existe, alors inf S = min S . 2.4.5 Exemples Illustrons ces concepts avec différents types d’intervalles. Intervalle fermé [a, b] • inf[a, b] = a , car a est la plus grande borne inférieure. • sup[a, b] = b , car b est la plus petite borne supérieure. • min[a, b] = a , car a ∈ [a, b]. • max[a, b] = b , car b ∈ [a, b]. Intervalle ouvert (a, b) • inf(a, b) = a , car a est la plus grande borne inférieure, bien que a ∉ (a, b). • sup(a, b) = b , car b est la plus petite borne supérieure, bien que b ∉ (a, b). • min(a, b) n’existe pas, car aucun élément de (a, b) n’est inférieur ou égal à tous les autres. • max(a, b) n’existe pas, car aucun élément de (a, b) n’est supérieur ou égal à tous les autres. Intervalle semi-ouvert [a, b) • inf[a, b) = a , car a est la plus grande borne inférieure. • sup[a, b) = b , car b est la plus petite borne supérieure. • min[a, b) = a , car a ∈ [a, b). • max[a, b) n’existe pas, car b ∉ [a, b) et aucun élément de [a, b) n’atteint b . Intervalle non borné [a, +∞) • inf[a, +∞) = a , car a est la plus grande borne inférieure. • sup[a, +∞) = +∞, car il n’existe pas de borne supérieure finie. • min[a, +∞) = a , car a ∈ [a, +∞). • max[a, +∞) n’existe pas, car l’ensemble s’étend à l’infini. 2.4.6 Propriétés des intervalles Les intervalles possèdent des propriétés spécifiques liées aux notions étudiées : • Tout intervalle borné a un supremum et un infimum finis. • Dans un intervalle fermé borné, le supremum est égal au maximum et l’infimum au minimum. • Dans un intervalle ouvert ou semi-ouvert borné, le supremum et l’infimum existent mais ne coïncident pas nécessairement avec un maximum ou un minimum. • Pour un intervalle non borné, le supremum ou l’infimum peut être ±∞, et le maximum ou le minimum n’existe généralement pas. 06/07/2026
Accueil9/13 2025 – Rappels théorique 2.4.7 Sujet 2 Ensembles de nombres Conclusion Les concepts de supremum, infimum, maximum et minimum permettent de caractériser précisément les intervalles dans R. Ces notions, ancrées dans la structure des nombres réels, sont indispensables pour l’étude de l’analyse mathématique, notamment pour établir des théorèmes fondamentaux comme celui des valeurs extrêmes ou celui des valeurs intermédiaires. 2.4.8 Propriété archimédienne des nombres réels La propriété archimédienne est une caractéristique fondamentale des nombres réels qui reflète leur capacité à dépasser n’importe quel nombre donné par des multiples d’un autre nombre. Cette propriété est essentielle dans de nombreux domaines des mathématiques, notamment en analyse et en géométrie. 2.4.9 Énoncé de la propriété Soient a et b deux nombres réels positifs. La propriété archimédienne stipule qu’il existe un entier naturel n tel que n · a > b . Démonstration Pour démontrer cette propriété, on peut procéder par l’absurde. Supposons qu’il n’existe pas d’entier naturel n tel que n · a > b . Cela signifierait que pour tout n ∈ N, n · a ≤ b . Ainsi, l’ensemble {n · a | n ∈ N} serait borné supérieurement par b , ce qui contredit le fait que les nombres réels ne possèdent pas de plus grand élément dans un ensemble non borné. Exemples • Si a = 1 et b = 100, alors pour n = 101, on a 101 · 1 = 101 > 100. • Si a = 0.1 et b = 10, alors pour n = 101, on a 101 · 0.1 = 10.1 > 10. 2.4.10 Applications La propriété archimédienne est utilisée dans de nombreuses preuves et constructions en mathématiques. Par exemple, elle est cruciale pour démontrer que tout nombre réel peut être approché par des nombres rationnels, ce qui est à la base de la densité des rationnels dans les réels. 2.5 Nombres complexes 2.5.1 Origine historique Les nombres complexes émergent au XVIe siècle dans le contexte de la résolution d’équations polynomiales. L’équation x 2 + 1 = 0, qui n’a pas de solution dans R, conduit à l’introduction de l’unité imaginaire i telle que i 2 = −1. Gerolamo Cardano et Rafael Bombelli sont parmi les premiers à manipuler ces nombres, bien que leur nature reste controversée jusqu’au XVIIIe siècle. Les travaux de Leonhard Euler, avec la formule e i θ = cos θ + i sin θ , et de Carl Friedrich Gauss, qui formalise leur représentation géométrique, consacrent leur légitimité. 2.5.2 Utilité et applications Les nombres complexes sont fondamentaux dans de nombreux domaines : a. Mathématiques : résolution d’équations polynomiales, analyse complexe. b. Physique : mécanique quantique (fonctions d’onde), électromagnétisme (impédance). c. Ingénierie : traitement du signal, analyse de Fourier. 06/07/2026
Accueil10/13 2025 – Rappels théorique Sujet 2 Ensembles de nombres Ils permettent de modéliser des phénomènes oscillatoires et de simplifier des calculs autrement ardus dans R. 2.5.3 Définition formelle Définition 2.5.1. Un nombre complexe z est une expression de la forme z = a + bi , où a, b ∈ R et i satisfait i 2 = −1. L’ensemble des nombres complexes est noté C. • a = Re(z) : partie réelle. • b = Im(z) : partie imaginaire. 2.5.4 Représentations des nombres complexes Forme algébrique La forme z = a + bi est la plus intuitive et sert de base aux opérations arithmétiques. Elle correspond à un point (a, b) dans le plan complexe. Forme polaire p Définition 2.5.2. La forme polaire de z ̸= 0 est z = r (cos θ+i sin θ), où : – r = |z| = a 2 + b 2 est le module. – θ = arg(z) est l’argument, déterminé par cos θ = ar , sin θ = br . ³ ´ Le choix de θ dépend du quadrant de (a, b) : – Si a > 0, θ = arctan ba . – Si a < 0, ajuster θ avec ±π. Forme exponentielle Définition 2.5.3. La forme exponentielle est z = r e i θ , où e i θ = cos θ + i sin θ (formule d’Euler). 2.5.5 Opérations arithmétiques Addition et soustraction Pour z 1 = a 1 + b 1 i , z 2 = a 2 + b 2 i : z 1 ± z 2 = (a 1 ± a 2 ) + (b 1 ± b 2 )i Multiplication En forme algébrique : z 1 z 2 = (a 1 + b 1 i )(a 2 + b 2 i ) = (a 1 a 2 − b 1 b 2 ) + (a 1 b 2 + a 2 b 1 )i En forme exponentielle : z 1 z 2 = r 1 r 2 e i (θ1 +θ2 ) Division En forme algébrique, utiliser le conjugué de z 2 : z 1 a 1 + b 1 i (a 1 a 2 + b 1 b 2 ) + (a 2 b 1 − a 1 b 2 )i = = z2 a2 + b2 i a 22 + b 22 En forme exponentielle : 06/07/2026 z 1 r 1 i (θ1 −θ2 ) = e z2 r 2
Accueil11/13 2025 – Rappels théorique Sujet 2 Ensembles de nombres Conjugaison et propriétés Définition 2.5.4. Le conjugé de z = a + bi est z = a − bi . Propriétés : – z + z = 2a . – zz = a 2 + b 2 = |z|2 . – z 1 z 2 = z 1 z 2 . 2.5.6 Module et argument Module p Définition 2.5.5. Le module de z = a +bi est |z| = a 2 + b 2 , la distance à l’origine dans le plan complexe. Propriétés : – |z 1 z 2 | = |z 1 ||z 2 |. – |z| = |z|. Argument Définition 2.5.6. L’argument de z ̸= 0 est θ tel que z = |z|e i θ , unique à 2π près. L’argument principal est dans (−π, π]. 2.5.7 Théorèmes fondamentaux Théorème de Moivre Théorème 2.5.7. Pour tout n ∈ Z, (cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ). Racines n-ièmes Les racines n-ièmes de z = r e i θ sont : z 1/n = r 1/n e i 2.5.8 ¡ θ+2kπ ¢ n , k = 0, 1, . . . , n − 1 Applications avancées Analyse complexe Les nombres complexes permettent l’étude des fonctions holomorphes, avec des théorèmes comme celui des résidus. Physique En mécanique quantique, l’état d’une particule est décrit par ψ = a+bi , où |ψ|2 est la densité de probabilité. Géométrie Les rotations dans le plan sont représentées par z 7→ e i α z . 2.5.9 Conclusion Les nombres complexes enrichissent les mathématiques en étendant R à un corps algébriquement clos, avec des applications vastes et profondes.
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