Théorie – AL1

Table des matières rea dy 4e pfl .ch 1 Systèmes d’équations linéaires 1.1 Systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Représentation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Matrices augmentées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Formes échelonnées d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Formes échelonnées réduites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Pivots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Variables libres et liées d’une matrice réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Opérations élémentaires sur les lignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Matrices des opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 2025 – Rappels théoriques 07/07/2026 Sujet 1 https://ready4EPFL.ch Systèmes d’équations linéaires 2/7 Théorie 1 Systèmes d’équations linéaires 1.1 Systèmes d’équations linéaires Un système d’équations linéaires est une collection d’une ou plusieurs équations linéaires impliquant le même ensemble de variables. Plus précisément, il peut être écrit comme :   a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = b 1     a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n = b 2 ..   .     a m1 x 1 + a m2 x 2 + · · · + a mn x n = b m où a i j sont les coefficients, x j sont les variables, et bi sont les constantes, pour i = 1, 2, . . . , m et j = 1, 2, . . . , n . 1.1.1 Représentation matricielle Le système d’équations linéaires peut être représenté de manière compacte sous forme matricielle comme : Ax = b où  a 11   a 21 A=  ..  . a m1 a 12 a 22 ··· ··· .. . .. a m2 ··· .  a 1n  a 2n  ..  , .  a mn   x1    x2   x=  ..  , .   xn   b1    b2   b=  ..  .   bm où A est la matrice des coefficients, x est le vecteur des variables, et b est le vecteur des constantes. 1.2 Matrices augmentées Une matrice augmentée est un outil fondamental en algèbre linéaire, particulièrement utile pour la résolution de systèmes d’équations linéaires. Elle permet de représenter de manière compacte le système et facilite l’application de méthodes de résolution telles que l’élimination de Gauss. 3 2025 – Rappels théoriques 1.2.1 Sujet 1 Systèmes d’équations linéaires Définition Soit un système de m équations linéaires à n variables, qui peut être écrit sous la forme :   a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = b 1     a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n = b 2 ..   .     a m1 x 1 + a m2 x 2 + · · · + a mn x n = b m La matrice augmentée associée à ce système est la matrice de taille m×(n+1) obtenue en ajoutant la colonne des termes constants b1 , b 2 , . . . , bm à la matrice des coefficients A = [ai j ]. Ainsi, la matrice augmentée est :  a 11   a 21 [A|b] =   ..  . a m1 1.2.2 a 12 a 22 ··· ··· a 1n a 2n .. . .. . .. . a m2 ··· a mn  b1  b2  ..   .  bm Exemple Considérons le système d’équations suivant : ( 2x + 3y = 5 4x − y = 1 La matrice des coefficients A est : ¶ µ 2 3 A= 4 −1 et le vecteur des termes constants b est : µ ¶ 5 b= 1 Ainsi, la matrice augmentée [A|b] est : µ ¶ 2 3 5 (A|b) = 4 −1 1 1.3 Formes échelonnées d’une matrice Une matrice est dite en forme échelonnée si elle satisfait les propriétés suivantes : 1. Toutes les lignes entièrement constituées de zéros sont situées en bas de la matrice. 2. Le premier élément non nul d’une ligne non nulle, appelé pivot, est strictement à droite des pivots des lignes supérieures. Par exemple, la matrice suivante est en forme échelonnée :  1 2 0 3 0 0 3 4  0 0 0 0  Les pivots sont le 1 de la première ligne et le 3 de la deuxième ligne. 07/07/2026 https://ready4EPFL.ch 4/7 2025 – Rappels théoriques 1.3.1 Sujet 1 Systèmes d’équations linéaires Formes échelonnées réduites Une matrice est dite en forme échelonnée réduite si elle est en forme échelonnée et satisfait en plus les propriétés suivantes : 1. Chaque pivot est égal à 1. Par exemple, la matrice suivante est en forme échelonnée réduite :  1 0 3 3 0 1 1 4  0 0 1 0  Les pivots sont les 1 des trois premières lignes, et chaque pivot est le seul élément non nul de sa colonne. 1.4 Pivots Dans une matrice en forme échelonnée, un pivot est le premier élément non nul d’une ligne non nulle. Les pivots sont importants car ils permettent d’identifier les variables liées et libres dans un système linéaire. Pour identifier les pivots dans une matrice en forme échelonnée, on parcourt chaque ligne de haut en bas et on repère le premier élément non nul de chaque ligne non nulle. Cet élément est le pivot de la ligne. 1.4.1 Variables libres et liées d’une matrice réduite Dans un système linéaire, les variables liées sont les variables qui correspondent aux colonnes contenant un pivot dans la forme échelonnée de la matrice augmentée du système. Les variables libres sont les variables qui ne correspondent pas à une colonne contenant un pivot. Par exemple, considérons le système linéaire suivant : ( x 1 + 2x 2 + x 3 = 1 x2 + x3 = 2 La matrice augmentée du système est : µ 1 2 1 1 0 1 1 2 ¶ qui est en forme échelonnée. Les pivots sont dans les colonnes 1 et 2, donc les variables liées sont x1 et x 2 , et la variable libre est x3 . 1.5 Opérations élémentaires sur les lignes Il existe trois types d’opérations élémentaires sur les lignes qui peuvent être effectuées sur une matrice : • Échanger deux lignes : Noté R i ↔ R j , cette opération échange la ligne i et la ligne j de la matrice. • Multiplier une ligne par un scalaire : Noté R i ← kR i , où k ̸= 0, cette opération multiplie la ligne i par le scalaire k . • Ajouter un multiple d’une ligne à une autre : Noté R i ← R i + kR j , cette opération remplace la ligne i par la somme de la ligne i et de k fois la ligne j . Par exemple, considérons la matrice  1 2 3 A = 4 5 6  . 7 8 9  En appliquant l’opération R1 ↔ R 2 , on obtient 07/07/2026 https://ready4EPFL.ch 5/7 2025 – Rappels théoriques Sujet 1 Systèmes d’équations linéaires   4 5 6 1 2 3 . 7 8 9 En appliquant l’opération R2 ← 2R 2 à la matrice originale A , on obtient  1 2 3 8 10 12 . 7 8 9  En appliquant l’opération R1 ← R 1 + 3R 3 à la matrice originale A , on obtient  22 26 30 4 5 6 . 7 8 9  1.5.1 Matrices des opérations élémentaires Chaque opération élémentaire sur les lignes peut être représentée par une multiplication à gauche par une matrice élémentaire correspondante. Plus précisément, pour une matrice de taille m × n , les matrices élémentaires sont des matrices m × m définies comme suit : • Pour échanger les lignes i et j , la matrice élémentaire E est obtenue en échangeant les lignes i et j de la matrice identité m × m I m . • Pour multiplier la ligne i par un scalaire non nul k , la matrice élémentaire E est obtenue en remplaçant l’entrée (i , i ) de I m par k . • Pour ajouter k fois la ligne j à la ligne i , la matrice élémentaire E est obtenue en ajoutant k à l’entrée (i , j ) de I m . Par exemple, considérons la matrice  1 2 3 A = 4 5 6  . 7 8 9  Pour échanger les lignes 1 et 2, nous utilisons la matrice élémentaire  0 1 0 E = 1 0 0  , 0 0 1  et      0 1 0 1 2 3 4 5 6 E A = 1 0 0 4 5 6 = 1 2 3 . 0 0 1 7 8 9 7 8 9 De même, pour multiplier la ligne 2 par 2, nous utilisons  1 0 0 E = 0 2 0  , 0 0 1  et     1 0 0 1 2 3 1 2 3 E A = 0 2 0 4 5 6 = 8 10 12 . 0 0 1 7 8 9 7 8 9 https://ready4EPFL.ch  07/07/2026 6/7 2025 – Rappels théoriques Sujet 1 Systèmes d’équations linéaires Pour ajouter 3 fois la ligne 3 à la ligne 1, nous utilisons  1 0 3 E = 0 1 0  , 0 0 1  et     1 0 3 1 2 3 22 26 30 5 6 . E A = 0 1 0  4 5 6  =  4 0 0 1 7 8 9 7 8 9  https://ready4EPFL.ch AlgLin-Chap1- Systèmes d’équations linéaires 07/07/2026 https://ready4EPFL.ch 7/7