Théorie – AL2

Table des matières rea dy 4e pfl .ch 2 Résolution de systèmes linéaires 2.1 Résolution des systèmes d’équations linéaires par la méthode de Gauss . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Matrice augmentée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Systèmes homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Notion de pivot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Types de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Variables libres et variables liées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6 Relation entre le nombre de pivots et le type de solution . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 3 3 3 3 4 4 4 2025 – Rappels théoriques 07/07/2026 Sujet 2 https://ready4EPFL.ch Résolution de systèmes linéaires 2/4 Théorie 2 Résolution de systèmes linéaires 2.1 Résolution des systèmes d’équations linéaires par la méthode de Gauss La méthode de Gauss, également connue sous le nom de méthode d’élimination de Gauss, est une technique algorithmique pour résoudre les systèmes d’équations linéaires. Elle consiste à transformer le système en un système équivalent plus simple à résoudre, en utilisant des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice augmentée du système. 2.1.1 Matrice augmentée Pour un système de m équations à n inconnues, la matrice augmentée est une matrice de dimensions m × (n + 1) qui combine la matrice des coefficients du système et le vecteur des termes constants. Par exemple, pour le système :   a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = b 1     a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n = b 2 ..   .     a m1 x 1 + a m2 x 2 + · · · + a mn x n = b m la matrice augmentée est :  a 11   a 21  .  .  . a m1 2.1.2 a 12 a 22 ··· ··· a 1n a 2n .. . .. . .. . a m2 ··· a mn  b1  b2  ..   .  bm Systèmes homogènes Un système d’équations linéaires est dit homogène si tous les termes constants sont nuls, c’est-à-dire si b 1 = b 2 = · · · = b m = 0. Dans ce cas, la matrice augmentée a une colonne de zéros à droite. Les systèmes homogènes ont toujours au moins une solution : la solution triviale où toutes les variables sont nulles. 2.1.3 Notion de pivot Dans la méthode de Gauss, un pivot est un élément non nul d’une matrice qui est utilisé pour éliminer les coefficients en dessous de lui dans la même colonne. Lors de l’échelonnement, on choisit un pivot dans chaque colonne (si possible) et on utilise des opérations sur les lignes pour mettre à zéro les éléments en dessous du pivot. 3 2025 – Rappels théoriques 2.1.4 Sujet 2 Résolution de systèmes linéaires Types de solutions Lors de la résolution d’un système d’équations linéaires, on peut rencontrer trois situations : • Solution unique : Le système a exactement une solution. Cela se produit lorsque le nombre de pivots est égal au nombre de variables (et donc au nombre de colonnes de la matrice des coefficients). • Pas de solution : Le système est incompatible, c’est-à-dire qu’il n’existe aucune solution. Cela se produit lorsqu’il y a une contradiction dans les équations, par exemple, une ligne de la forme [0 0 · · · 0|c] avec c ̸= 0 dans la matrice échelonnée. • Infinité de solutions : Le système a une infinité de solutions. Cela se produit lorsque le nombre de pivots est inférieur au nombre de variables, ce qui laisse des variables libres. 2.1.5 Variables libres et variables liées Dans un système d’équations linéaires, les variables peuvent être classées en deux catégories : • Variables liées : Ce sont les variables associées à un pivot dans la matrice échelonnée. Leur valeur est déterminée par les équations. • Variables libres : Ce sont les variables qui ne sont pas associées à un pivot. Elles peuvent prendre des valeurs arbitraires, et les solutions du système sont exprimées en fonction de ces variables libres. 2.1.6 Relation entre le nombre de pivots et le type de solution Le nombre de pivots dans la matrice échelonnée du système détermine le type de solution : • Si le nombre de pivots est égal au nombre de variables, le système a une solution unique. • Si le nombre de pivots est inférieur au nombre de variables, et qu’il n’y a pas de contradiction, le système a une infinité de solutions. • Si lors de l’échelonnement, on obtient une ligne de la forme [0 0 · · · 0|c] avec c ̸= 0, le système n’a pas de solution. En résumé, la méthode de Gauss permet de transformer le système en une forme où ces propriétés sont évidentes, facilitant ainsi la détermination du type et du nombre de solutions. https://ready4EPFL.ch AlgLin-Chap2- Résolution de systèmes linéaires 07/07/2026 https://ready4EPFL.ch 4/4