Théorie – AN4

illo n Table des matières bro u 4 Suites numériques – Récurrence 4.1 Suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Définition et notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Propriétés fondamentales des suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Bornitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.5 Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Types de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Suite constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Suite arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4 Suite harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.5 Suite définie par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.6 Suite polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Théorèmes et résultats importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Théorème de la limite unique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Théorème de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3 Théorème de la convergence monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.4 Théorème des valeurs intermédiaires pour les suites . . . . . . . . . . . . . . 4.5.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Les axiomes de Peano et la définition des suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1 Axiomes de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.2 Suites numériques et récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Définition formelle de la récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.1 Ordre de la récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.2 Exemples de suites récurentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Étapes de la construction d’une suite par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.1 Étape 1 : Définir les conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.2 Étape 2 : Formuler la relation de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.3 Étape 3 : Vérifier l’Applicabilité de la Récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.4 Étape 4 : Construire les termes de la suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.5 Étape 5 : Justifier l’unicité et l’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10 Propriétés et analyse des suites récurentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 2025 – Rappels théorique Sujet 4 Suites numérique – Récurrence 4.10.1 Récurrence linéaire homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.2 Récurrence non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.3 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11 Démonstration par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12 Étapes de la démonstration par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12.1 Étape 1 : Formulation de la proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12.2 Étape 2 : Initialisation ou ancrage (base de la récurrence) . . . . . . . . . . . 4.12.3 Étape 3 : Hypothèse de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12.4 Étape 4 : Démonstration de P (k + 1) ou hérédité . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12.5 Étape 5 : Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.13 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.14 Récurrence forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.14.1 Définition de la récurrence forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.14.2 Différence avec la récurrence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.15 Limite d’une suite numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.16 Définition formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.16.1 Interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.16.2 Unicité de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.17 Suites divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.18 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 06/07/2026

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9 9 10 10 10 10 10 11 11 11 11 12 12 12 12 12 13 13 13 13 13 2/13 Théorie 4 Suites numériques – Récurrence 4.1 Suites numériques Les suites numériques constituent un pilier fondamental de l’analyse mathématique. Elles permettent de représenter des séquences ordonnées de nombres réels et jouent un rôle clé dans l’étude des limites, de la convergence et des séries. Leur compréhension est essentielle pour aborder des concepts avancés tels que les équations différentielles, les transformations de Fourier ou encore les processus stochastiques. 4.2 Définition et notation Définition 4.2.1. Une suite numérique est une fonction f : N → R, où N est l’ensemble des entiers naturels et R l’ensemble des nombres réels. Elle est généralement notée (a n )n∈N , où a n = f (n) représente le n -ième terme de la suite. 4.2.1 Notation • Si l’indexation commence à n = 0 : a 0 , a 1 , a 2 , . . . . • Si l’indexation commence à n = 1 : a 1 , a 2 , a 3 , . . . . • On peut aussi définir une suite à partir d’un indice n 0 ≥ 0 arbitraire. 4.2.2 Représentation graphique Une suite peut être visualisée comme une série de points dans le plan cartésien, où l’axe des abscisses représente n et l’axe des ordonnées représente an . 4.3 Propriétés fondamentales des suites Les suites numériques possèdent des propriétés qui permettent de les classer et d’analyser leur comportement asymptotique. 4.3.1 Convergence Une suite (an ) converge vers une limite L ∈ R si : ∀ϵ > 0, ∃N ∈ N, ∀n > N , |a n − L| < ϵ. 3 2025 - Rappels théorique Sujet 4 Suites numérique - Récurrence On note alors limn→∞ an = L . Exemple 1 : a n = n1 . Pour ϵ > 0, prenons N > 1ϵ . Si n > N , alors n1 < N1 < ϵ, donc la suite converge vers 0. 1 1 Exemple 2 : an = 2n+1 n+1 . Simplifions : a n = 2 − n+1 . Comme n+1 → 0, alors a n → 2. Exemple 3 : an = (−1)n n1 . La valeur absolue |a n | = n1 → 0, donc a n → 0. 4.3.2 Divergence Une suite diverge si elle ne converge pas vers une limite finie. Elle peut : • Diverger vers +∞ : ∀M > 0, ∃N , ∀n > N , a n > M . • Diverger vers −∞ : ∀M < 0, ∃N , ∀n > N , a n < M . • Osciller sans limite fixe. Exemple 1 : an = n 2 . Pour M > 0, prenons N > a n → +∞. p M . Si n > N , alors n 2 > N 2 > M , donc Exemple 2 : an = −n . Pour M < 0, prenons N > −M . Si n > N , alors −n < −N < M , donc a n → −∞. Exemple 3 : an = (−1)n n . La suite oscille entre des valeurs positives et négatives croissantes en module, donc elle ne converge pas. 4.3.3 Bornitude Une suite (an ) est bornée s’il existe M > 0 tel que |a n | ≤ M pour tout n . Exemple 1 : an = sin(n). Comme −1 ≤ sin(n) ≤ 1, la suite est bornée par M = 1. Exemple 2 : an = n n’est pas bornée car |a n | = n croît indéfiniment. Exemple 3 : an = n1 est bornée car 0 < an ≤ 1 pour n ≥ 1. 4.3.4 Monotonie Une suite est : • Croissante : a n+1 ≥ a n . • Strictement croissante : a n+1 > a n . • Décroissante : a n+1 ≤ a n . • Strictement décroissante : a n+1 < a n . Exemple 1 : an = 2n + 1 est strictement croissante : an+1 = 2(n + 1) + 1 = 2n + 3 > 2n + 1. 1 Exemple 2 : an = n1 est strictement décroissante : n+1 < n1 . Exemple 3 : an = 2 est croissante et décroissante (constante). 06/07/2026 https://michelsemon.ch 4/13 2025 - Rappels théorique 4.3.5 Sujet 4 Suites numérique - Récurrence Suites de Cauchy Une suite (an ) est de Cauchy si : ∀ϵ > 0, ∃N , ∀m, n > N , |a m − a n | < ϵ. Dans R, une suite est convergente si et seulement si elle est de Cauchy. Exemple 1 : an = n1 . Pour m, n > N , |a m − a n | = ¯ m1 − n1 ¯ ≤ m1 + n1 < N2 . Si N > 2ϵ , alors |a m − a n | < ϵ. ¯ Exemple 2 : an = 4.4 ¯ 2 1 . Cette suite est convergente (vers π6 ), donc de Cauchy. k=1 k 2 Pn Types de suites Voici une analyse détaillée de plusieurs types de suites. 4.4.1 Suite constante Formule : an = c . Propriétés : Convergente vers c , bornée par |c|. Exemple : a n = 3. Alors limn→∞ an = 3. 4.4.2 Suite arithmétique Formule : an = a + (n − 1)d . • Propriétés : • Si d > 0 : strictement croissante, diverge vers +∞. • Si d < 0 : strictement décroissante, diverge vers −∞. • Si d = 0 : constante. Exemple 1 : an = 5 + 2(n − 1). Alors a1 = 5, a 2 = 7, a 3 = 9, diverge vers +∞. Exemple 2 : an = 10 − 3(n − 1). Alors a 1 = 10, a2 = 7, a 3 = 4, diverge vers −∞. 4.4.3 Suite géométrique Formule : an = a · r n−1 . • Propriétés : • Si |r | < 1 : converge vers 0. • Si r = 1 : constante. • Si |r | > 1 : diverge. • Si r = −1 : oscille entre a et −a . ¡ ¢n−1 . Alors a1 = 3, a2 = 1.5, a3 = 0.75, converge vers 0. Exemple 1 : an = 3 · 12 Exemple 2 : an = 2 · 3n−1 . Alors a1 = 2, a 2 = 6, a3 = 18, diverge vers +∞. Exemple 3 : an = 4 · (−1)n−1 . Alors a1 = 4, a2 = −4, a3 = 4, oscille. 06/07/2026

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5/13 2025 – Rappels théorique 4.4.4 Sujet 4 Suites numérique – Récurrence Suite harmonique Formule : an = n1 . • Propriétés : Strictement décroissante, converge vers 0. Exemple : a 1 = 1, a 2 = 0.5, a3 = 0.333 . . . . 4.4.5 Suite définie par récurrence Une suite récurrente est définie par une relation entre ses termes. Exemple 1 : Suite de Fibonacci f 1 = 1, f 2 = 1, f n = f n−1 + f n−2 pour n ≥ 3. Alors f 1 = 1, f 2 = 1, f 3 = 2, f 4 = 3, f 5 = 5, strictement croissante, diverge vers +∞. Exemple 2 : a1 = 2, a n+1 = a2n . Alors a1 = 2, a 2 = 1, a 3 = 0.5, converge vers 0. Exemple 3 : a1 = 1, a n+1 = a n + a1n . Cette suite croît indéfiniment, diverge vers +∞. 4.4.6 Suite polynomiale Formule : an = P (n), où P est un polynôme. • Propriétés : Si deg(P ) > 0, diverge vers ±∞. Exemple : a n = n 2 − 2n + 1 = (n − 1)2 . Alors a1 = 0, a 2 = 1, a 3 = 4, diverge vers +∞. 4.5 Théorèmes et résultats importants 4.5.1 Théorème de la limite unique Si une suite converge, sa limite est unique. Preuve par contradiction : supposons L ̸= L ′ , alors |L − L ′ | > 0, ce qui contredit la définition de convergence. 4.5.2 Théorème de Bolzano-Weierstrass Toute suite bornée admet une sous-suite convergente. Exemple : a n = sin(n) est bornée. Une sous-suite peut converger vers 1 (si n k → π2 + 2kπ). 4.5.3 Théorème de la convergence monotone Une suite monotone et bornée est convergente. p Exemple : a 1 = 1, a n+1p= 2 + a n . La suite est croissante et bornée par 2 (car p a n < 2), converge vers 2 + 2 + · · · = 2. 4.5.4 p 2 + a n < 2 si Théorème des valeurs intermédiaires pour les suites Si une suite (an ) est bornée et admet deux valeurs d’accumulation L 1 et L 2 , alors elle admet toutes les valeurs intermédiaires entre L 1 et L 2 comme valeurs d’accumulation. 06/07/2026 https://michelsemon.ch 6/13 2025 - Rappels théorique 4.5.5 Sujet 4 Suites numérique - Récurrence Conclusion Les suites numériques sont des outils puissants pour explorer les comportements asymptotiques et les structures mathématiques. Leur étude approfondie ouvre la voie à des domaines comme les séries infinies, l’analyse fonctionnelle et les probabilités, tout en offrant des applications concrètes en physique, informatique et économie. 4.6 Principe de récurrence La récurrence est une méthode fondamentale pour définir et étudier les suites numériques. Elle repose sur la construction itérative des termes d’une suite à partir de conditions initiales et d’une relation de récurrence. Cette approche est rigoureusement fondée sur les axiomes de Peano, qui définissent les entiers naturels. Ce document explore la définition de la récurrence, son lien avec les axiomes de Peano, et les étapes de la construction des suites récurrentes. 4.7 Les axiomes de Peano et la définition des suites Les axiomes de Peano fournissent une base formelle pour l’ensemble des entiers naturels N, qui sert de domaine pour l’indexation des suites numériques. Ces axiomes permettent de justifier la définition par récurrence. 4.7.1 Axiomes de Peano Les axiomes de Peano sont les suivants : • Axiome 1 : Il existe un entier naturel 0 (ou 1, selon la convention). • Axiome 2 : Tout entier naturel n possède un successeur unique, noté S(n). • Axiome 3 : Il n’existe aucun entier naturel dont le successeur est 0. • Axiome 4 : Si S(n) = S(m), alors n = m (le successeur est injectif). • Axiome 5 (Principe de récurrence) : Soit P (n) une propriété sur les entiers naturels. Si P (0) est vraie et si, pour tout n ∈ N, P (n) implique P (S(n)), alors P (n) est vraie pour tout n ∈ N. 4.7.2 Suites numériques et récurrence Une suite numérique (an )n∈N est une fonction a : N → R, où N est construit via les axiomes de Peano. Une suite est définie par récurrence si : • Un ou plusieurs termes initiaux sont donnés (par exemple, a 0 ou a 1 ). • Une relation de récurrence exprime chaque terme a n en fonction des termes précédents a n−1 , a n−2 , . . . . La récurrence s’appuie sur l’axiome 5, qui garantit que toute propriété définie sur N peut être établie par un processus itératif, justifiant ainsi la construction des suites terme par terme. 06/07/2026 https://michelsemon.ch 7/13 2025 - Rappels théorique 4.8 Sujet 4 Suites numérique - Récurrence Définition formelle de la récurrence Une suite (an )n≥n0 est définie par récurrence si : • Condition initiale : Les k premiers termes a n0 , a n0 +1 , . . . , a n0 +k−1 sont donnés, où k est l’ordre de la récurrence. • Relation de récurrence : Pour tout n ≥ n 0 + k , le terme a n est défini par une fonction f telle que : a n = f (a n−1 , a n−2 , . . . , a n−k , n). 4.8.1 Ordre de la récurrence • Récurrence d’ordre 1 : a n = f (a n−1 , n). • Récurrence d’ordre 2 : a n = f (a n−1 , a n−2 , n). • Récurrence d’ordre k : a n = f (a n−1 , a n−2 , . . . , a n−k , n). 4.8.2 Exemples de suites récurentes • Suite arithmétique : a 1 = a , a n = a n−1 +d pour n ≥ 2. Exemple : a 1 = 3, d = 2, alors a 2 = 5, a 3 = 7, a 4 = 9. • Suite géométrique : a 1 = a , a n = r · a n−1 . Exemple : a 1 = 2, r = 3, alors a 2 = 6, a 3 = 18, a 4 = 54. • Suite de Fibonacci : a 1 = 1, a 2 = 1, a n = a n−1 + a n−2 pour n ≥ 3. Alors a 3 = 2, a 4 = 3, a 5 = 5. 4.9 Étapes de la construction d’une suite par récurrence La construction d’une suite par récurrence suit un processus structuré basé sur les axiomes de Peano, en particulier le principe de récurrence. 4.9.1 Étape 1 : Définir les conditions initiales Les termes initiaux sont spécifiés pour amorcer la suite. Ces termes doivent être donnés explicitement pour garantir l’unicité de la suite. Exemple 1 : Pour la suite de Fibonacci, a1 = 1, a 2 = 1. Exemple 2 : Pour une récurrence d’ordre 1, a0 = 5. Exemple 3 : Pour une récurrence d’ordre 3, a1 = 0, a2 = 1, a 3 = 2. 4.9.2 Étape 2 : Formuler la relation de récurrence La relation de récurrence est une équation qui exprime a n en fonction des termes précédents et, éventuellement, de n . Elle doit être bien définie pour tout n au-delà des conditions initiales. Exemple 1 : an = 2an−1 (récurrence linéaire d’ordre 1). Exemple 2 : an = a n−1 + a n−2 (récurrence linéaire d’ordre 2). 2 Exemple 3 : an = a n−1 + n (récurrence non linéaire). 06/07/2026 https://michelsemon.ch 8/13 2025 - Rappels théorique 4.9.3 Sujet 4 Suites numérique - Récurrence Étape 3 : Vérifier l’Applicabilité de la Récurrence On s’assure que la relation de récurrence est applicable pour tout n ≥ n 0 + k et que les termes nécessaires (a n−1 , a n−2 , . . . ) sont bien définis. • Vérifier que les indices dans la relation renvoient à des termes déjà calculés. • S’assurer que la fonction f est bien définie (par exemple, éviter les divisions par zéro). 4.9.4 Étape 4 : Construire les termes de la suite À partir des conditions initiales, appliquer la relation de récurrence pour calculer les termes successifs. Exemple : Soit a1 = 2, an = 3an−1 pour n ≥ 2. • a 2 = 3a 1 = 3 · 2 = 6. • a 3 = 3a 2 = 3 · 6 = 18. • a 4 = 3a 3 = 3 · 18 = 54. 4.9.5 Étape 5 : Justifier l’unicité et l’existence L’axiome 5 de Peano garantit que la suite est bien définie pour tout n ∈ N. L’unicité découle de la nature déterministe des conditions initiales et de la relation de récurrence. • Preuve d’unicité : Supposons deux suites (a n ) et (b n ) satisfaisant les mêmes conditions initiales et la même récurrence. Par récurrence, an = bn pour tout n . • Existence : La récurrence définit a n de manière unique à chaque étape, à partir des termes précédents. 4.10 Propriétés et analyse des suites récurentes Les suites définies par récurrence peuvent être étudiées pour leurs propriétés asymptotiques, telles que la convergence, la bornitude ou la monotonie. 4.10.1 Récurrence linéaire homogène Une récurrence linéaire homogène d’ordre k a la forme : a n = c 1 a n−1 + c 2 a n−2 + · · · + c k a n−k , où c i sont des constantes. La solution est obtenue via l’équation caractéristique. Exemple : Suite de Fibonacci, a n³= apn−1 caractéristique : r 2 − r − 1 = 0, ´n + a n−2 ³ .pÉquation ´n p racines r = 1±2 5 . Solution : a n = A 1+2 5 + B 1−2 5 . 4.10.2 Récurrence non linéaire Une récurrence non linéaire peut être plus complexe à résoudre. 2 Exemple : a 1 = 1, an = a n−1 + 1. Calcul : a 2 = 12 + 1 = 2, a 3 = 22 + 1 = 5, a 4 = 52 + 1 = 26. La suite croît exponentiellement. 06/07/2026 https://michelsemon.ch 9/13 2025 - Rappels théorique 4.10.3 Sujet 4 Suites numérique - Récurrence Convergence Certaines suites récurentes convergent vers une limite finie. 1 Exemple : a 1 = 1, a n = an−1 . Alors an = 2n−1 , converge vers 0. 2 p Exemple : a1 =p 1, a n+1 = 2 + a n . La suite est croissante, bornée par 2, et converge vers 2 (solution de L = 2 + L ). 4.10.4 Conclusion La récurrence, ancrée dans les axiomes de Peano, est une méthode puissante pour définir des suites numériques. Elle permet de modéliser des phénomènes mathématiques et appliqués, tout en offrant une structure rigoureuse pour l’analyse. Les étapes de la récurrence garantissent une construction systématique et unique des suites, tandis que les outils analytiques permettent d’étudier leur comportement à long terme. 4.11 Démonstration par récurrence La démonstration par récurrence est une méthode fondamentale en mathématiques utilisée pour prouver des propositions qui sont vraies pour tout entier naturel. Elle repose sur le principe de récurrence, qui est l’un des axiomes de Peano définissant les entiers naturels. Cette méthode est particulièrement utile pour prouver des égalités, des inégalités, des propriétés de divisibilité, et bien d’autres affirmations concernant les entiers. La démonstration par récurrence se déroule en deux étapes principales : • Initialisation (base) ou ancrage : On vérifie que la proposition est vraie pour un entier de départ, généralement n = 0 ou n = 1. • Hérédité (ou induction) : On montre que si la proposition est vraie pour un entier k , alors elle est également vraie pour l’entier suivant k + 1. Une fois ces deux étapes accomplies, le principe de récurrence garantit que la proposition est vraie pour tout entier naturel supérieur ou égal à l’entier de départ. 4.12 Étapes de la démonstration par récurrence La démonstration par récurrence suit un processus structuré qui peut être divisé en plusieurs sousétapes pour plus de clarté. 4.12.1 Étape 1 : Formulation de la proposition Avant de commencer la démonstration, il est crucial de formuler clairement la proposition à prouver. Celle-ci doit être une affirmation P (n) qui dépend d’un entier naturel n . . Exemple 1 : Pour tout entier n ≥ 1, la somme des n premiers entiers est n(n+1) 2 Exemple 2 : Pour tout entier n ≥ 0, 2n > n . Exemple 3 : Pour tout entier n ≥ 1, n! est divisible par 2 si n ≥ 2. 06/07/2026

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10/13 2025 – Rappels théorique 4.12.2 Sujet 4 Suites numérique – Récurrence Étape 2 : Initialisation ou ancrage (base de la récurrence) Dans cette étape, on choisit un entier de départ, souvent n = 0 ou n = 1, et on vérifie que la proposition P (n) est vraie pour cet entier. = 1, donc P (1) est Exemple 1 : Pour n = 1, la somme des 1 premiers entiers est 1, et 1(1+1) 2 vraie. Exemple 2 : Pour n = 0, 20 = 1 > 0, donc P (0) est vraie. Exemple 3 : Pour n = 1, 1! = 1, qui n’est pas divisible par 2, mais comme l’affirmation concerne n ≥ 2, on peut commencer à n = 2 : 2! = 2, qui est divisible par 2. 4.12.3 Étape 3 : Hypothèse de récurrence On suppose que la proposition P (k) est vraie pour un certain entier k ≥ n 0 , où n 0 est l’entier de départ. Cette hypothèse est appelée l’hypothèse de récurrence. Exemple 1 : On suppose que pour un certain k ≥ 1, Pk i =1 i = k(k+1) 2 . Exemple 2 : On suppose que pour un certain k ≥ 0, 2k > k . Exemple 3 : On suppose que pour un certain k ≥ 2, k! est divisible par 2. 4.12.4 Étape 4 : Démonstration de P (k + 1) ou hérédité À partir de l’hypothèse de récurrence, on doit montrer que P (k + 1) est vraie. Cela implique souvent de manipuler l’expression de P (k + 1) en utilisant P (k). Exemple 1 : On veut montrer que k+1 X Ã k X Pk+1 i =1 i = (k+1)(k+2) . En utilisant l’hypothèse de récurrence : 2 ! µ ¶ µ ¶ k(k + 1) k k +2 (k + 1)(k + 2) + (k + 1) = (k + 1) + 1 = (k + 1) = . i= i + (k + 1) = 2 2 2 2 i =1 i =1 Exemple 2 : On veut montrer que 2k+1 > k + 1. Puisque 2k > k par hypothèse, et comme 2k+1 = 2 · 2k > 2k , il suffit de montrer que 2k > k + 1, ce qui est vrai pour k ≥ 1. Pour k = 0, on a déjà vérifié P (0), et pour k = 1, 21 = 2 > 1, puis 2k+1 > k + 1 pour k ≥ 1. Exemple 3 : On veut montrer que (k + 1)! est divisible par 2. Puisque (k + 1)! = (k + 1) · k!, et que k! est divisible par 2 (par hypothèse), alors (k + 1)! est aussi divisible par 2. 4.12.5 Étape 5 : Conclusion Une fois que l’initialisation et l’hérédité sont démontrées, on peut conclure que la proposition P (n) est vraie pour tout entier n ≥ n 0 par le principe de récurrence. Exemple 1 : Par récurrence, Pn i =1 i = n(n+1) pour tout n ≥ 1. 2 Exemple 2 : Par récurrence, 2n > n pour tout n ≥ 0. Exemple 3 : Par récurrence, n! est divisible par 2 pour tout n ≥ 2. 06/07/2026

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11/13 2025 – Rappels théorique 4.13 Sujet 4 Suites numérique – Récurrence Conclusion La démonstration par récurrence est une technique puissante et polyvalente qui permet de prouver des propositions sur les entiers naturels. En suivant rigoureusement les étapes d’initialisation et d’hérédité, on peut établir la validité d’une affirmation pour une infinité de cas. Cette méthode est essentielle non seulement en arithmétique, mais aussi dans des domaines avancés tels que l’analyse, l’algèbre et la théorie des graphes. Les exemples présentés illustrent la diversité des applications de la récurrence, des sommes et des inégalités aux propriétés de divisibilité. 4.14 Récurrence forte La récurrence forte est une méthode de démonstration mathématique qui permet de prouver qu’une propriété est vraie pour tous les entiers naturels à partir d’un certain point. Elle est une généralisation de la récurrence simple (ou récurrence faible) et est particulièrement utile lorsque la preuve pour un entier n dépend de la validité de la propriété pour plusieurs entiers plus petits que n , et pas seulement pour n − 1. 4.14.1 Définition de la récurrence forte La récurrence forte se base sur le principe suivant : • Cas de base : On prouve que la propriété est vraie pour un ou plusieurs entiers initiaux, souvent n = 0, n = 1, ou d’autres valeurs selon le contexte. • Hypothèse de récurrence : On suppose que la propriété est vraie pour tous les entiers k tels que 0 ≤ k ≤ n (ou à partir du cas de base jusqu’à n ). • Étape de récurrence : À partir de cette hypothèse, on démontre que la propriété est également vraie pour n + 1. Ainsi, en combinant le cas de base et l’étape de récurrence, on peut conclure que la propriété est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à la valeur du cas de base. 4.14.2 Différence avec la récurrence simple Dans la récurrence simple, l’hypothèse de récurrence suppose seulement que la propriété est vraie pour n , et on en déduit qu’elle est vraie pour n + 1. En revanche, la récurrence forte permet de supposer que la propriété est vraie pour tous les entiers jusqu’à n , ce qui peut être nécessaire dans certains cas où la preuve pour n + 1 dépend de plusieurs valeurs antérieures (suite de Fibonacci par exemple). 4.15 Limite d’une suite numérique La notion de limite d’une suite est fondamentale, car elle permet de décrire le comportement asymptotique des suites et sert de base à des concepts plus avancés tels que la convergence des séries ou la continuité des fonctions. 06/07/2026

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12/13 2025 – Rappels théorique 4.16 Sujet 4 Suites numérique – Récurrence Définition formelle Définition 4.16.1 (Limite d’une suite). Soit (an )n∈N une suite numérique. On dit que la suite (a n ) a pour limite L lorsque n tend vers l’infini, et on note limn→∞ an = L , si : ∀ϵ > 0, ∃N ∈ N, ∀n > N , |a n − L| < ϵ Cette définition exprime l’idée que pour tout degré de proximité ϵ choisi, il existe un rang N à partir duquel tous les termes de la suite sont à une distance inférieure à ϵ de L . 4.16.1 Interprétation La définition formelle capture l’intuition suivante : • Quel que soit le petit nombre ϵ choisi, il est possible de trouver un point dans la suite (à partir de l’indice N ) où tous les termes subséquents sont aussi proches de L que désiré. • Plus n est grand, plus a n est proche de L . 4.16.2 Unicité de la limite Si une suite a une limite, celle-ci est unique. En effet, supposons qu’une suite (an ) ait deux limites 2| > 0, il existerait des indices à partir desquels les termes distinctes L 1 et L 2 . Alors, pour ϵ = |L 1 −L 2 de la suite sont simultanément proches de L 1 et de L 2 , ce qui est impossible si L 1 ̸= L 2 . 4.17 Suites divergentes Une suite qui n’a pas de limite est dite divergente. Par exemple : • La suite (a n ) définie par a n = (−1)n alterne entre -1 et 1 et ne converge pas vers une valeur unique. • La suite (b n ) définie par b n = n tend vers l’infini et n’a pas de limite finie. 4.18 Conclusion La limite d’une suite numérique est un concept clé en mathématiques, permettant de caractériser le comportement à long terme des suites. Sa définition rigoureuse via la condition epsilon-N assure une compréhension précise de la convergence et constitue la base de nombreuses applications en analyse.

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An1-Chap4- Suites numérique – Récurrence 06/07/2026

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