Exercices – PHY2

Série 2 – Rappels mathématiques

Ce document propose une série d’exercices de mécanique générale destinés à renforcer les bases du calcul et de la modélisation. Les premiers exercices portent sur le calcul différentiel appliqué à des fonctions d’une ou deux variables, avec une attention particulière aux dérivées partielles et secondes. Un autre ensemble d’exercices aborde la trigonométrie en lien avec les représentations graphiques des fonctions sinus, cosinus et tangente dans différents intervalles angulaires. La cinématique rectiligne est étudiée à travers le mouvement d’une voiture soumise à une accélération constante puis à une vitesse limite. D’autres problèmes analysent les trajectoires de particules, qu’elles soient paraboliques ou circulaires, en calculant les vitesses et accélérations correspondantes. La notion de vecteurs est également approfondie avec des opérations de base comme le produit scalaire, vectoriel et mixte. L’ensemble permet de combiner calculs analytiques et interprétations géométriques, tout en consolidant les liens entre algèbre, trigonométrie et physique. Les étudiants s’entraînent ainsi à manipuler les outils fondamentaux nécessaires pour aborder la mécanique avancée.

2026 – Mécanique générale Énoncés – Série 2 a. Déterminez les dérivées des fonctions suivantes : (b) f (x) = cos2 (ln x) (c) f (x) = exp(ln x + 1) b. On donne les fonctions de deux variables x et y suivantes : (a) f (x, y) = cos y + x x 2 + 2x y + y Calculer ∂x∂y et ∂x 2 . a. Tracer un cercle de rayon 1 centré à l’origine et une droite faisant un angle α avec l’axe horizontal x . b. Représenter graphiquement cos α, sin α, tan α et cot α pour des angles 0 ≤ α ≤ π/2; π/2 ≤ α ≤ π; π ≤ α ≤ 3π/2; 3π/2 ≤ α ≤ 2π. c. Montrer graphiquement que : cos(π/2 − α) = sin α sin(3π/2 + α) = − cos α Une voiture se déplace en ligne droite. Sa position en fonction du temps est donnée par où v 0 et a0 sont des constantes positives. La position de la voiture est illustrée sur le graphique ci-dessous :

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2026 – Mécanique générale Esquisser les graphiques de la vitesse v(t ) et de accélération a(t ) en fonction du temps. a. Une particule décrit une trajectoire plane donnée par y = Ax 2 , où A est une constante donnée. Une mesure de sa position selon x est donnée par x(t ) = v 0x t , où v 0x est également une constante donnée. Avec ces informations, déterminer quelles sont les composantes selon x et y de la vitesse et de b. La trajectoire d’une particule a comme équation paramétrique où R est constant. Quelles sont les composantes selon x et y de la vitesse et de l’accélération et quelle trajectoire décrit la particule ? Étant donné les trois vecteurs A = 2e1 −5e2 , B = 4e2 et C = 3e1 définis à l’aide des vecteurs de base unitaires e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) et e3 = (0, 0, 1), calculez les expressions suivantes si elles ont un sens mathématique. i. C (A × B), où C est la norme de C.

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