L&

1 Exercice 1 – Examen 2009 L’ÉCHELLE MAL APPUYÉE 1 L’échelle mal appuyée Enoncé Une échelle est modélisée par une barre infiniment mince, rigide, de longueur L , de masse M et de moment d’inertie IG par rapport à l’axe normal à la barre passant par son centre de masse G . Cette barre est soumise à la pesanteur. Elle s’appuie sur un mur vertical en V et sur un sol horizontal en H . Aux deux points d’appui il n’y pas de frottement. On notera que ces contraintes impliquent que le point G décrit un cercle de rayon L/2. Fig. 1 – Schéma de l’exercice Q1 : Appliquez le théorème du moment cinétique pour obtenir une équation du mouvement. Q2 : Appliquez le théorème du centre de masse pour obtenir deux autres équations du mouvement. Q3 : L’énergie mécanique de la barre est conservée, justifiez. Ecrivez explicitement l’énergie de la barre en fonction de l’angle d’inclinaison φ. https://ready4EPFL.ch 1 1 Exercice 1 – Examen 2009 L’ÉCHELLE MAL APPUYÉE Résolution Question 1 : Appliquez le théorème du moment cinétique pour obtenir une équation du mouvement. Réponse 1 : Fig. 2 – On choisira l’origine du repère en O pour le calcul de l’énergie mécanique (Q3). Pour le calcul de φ̈, on attache un repère cylindrique associé au centre de masse G de la barre car G à comme trajectoire un cercle. Le vecteur de base ez sort de la feuille. On commence par noter que l’échelle se déplace dans un plan vertical. On peut alors se poser la question de quelle grandeur doit-on trouver l’équation du mouvement ? Je pense qu’il est clair que cette équation du mouvement est celle de l’angle φ. On commence par placer un repère cylindrique associé en G , ce qui est justifié vu que le point G est à tout instant sur un cercle. Où va-t-on se placer pour calculer l’accélération angulaire φ̈ ? En G bien sûr ! Donc on applique le théorème du moment cinétique en G dLG = MG = IG φ̈ez . dt On commence par calculer le moment en G . Mais dans quel repère on doit se placer ? Si on se place dans le repère cylindrique associé, les décomposition des forces et des bras de forces sera compliquée. Si on se place dans le repère OHV cela sera bien plus simple vu que l’angle utilisé sera également l’angle φ. On a : MG = GH ∧ NH + GV ∧ NV (1) MG sera dans la direction de ez (règle du tire-bouchon). On peut donc utiliser la version géométrique du produit vectoriel ∥A ∧ B∥ = ∥A∥∥B∥ sin(∠ AB ) = AB sin(∠ AB ) pour calculer son intensité et son sens. ³π ´ L¡ ¡ ¢ L ¡ ¢ ¡ ¢¢ L MG ·ez = − NV sin φ + N H sin − φ = N H cos φ − NV sin φ = IG φ̈ez 2 2 2 2 (2) On a notre première équation du mouvement. IG φ̈ = ¡ ¢ ¡ ¢¢ L¡ N H cos φ − NV sin φ 2 https://ready4EPFL.ch (3) 2 1 Exercice 1 – Examen 2009 L’ÉCHELLE MAL APPUYÉE Question 2 : Appliquez le théorème du centre de masse pour obtenir deux autres équations du mouvement. Réponse 2 : Le théorème du centre de masse n’est que la version pour les solides indéformables de la seconde loi de Newton. Il nous dit que : M dVG X ext = Fα . dt α On reprend la fameuse formule qui donne les composantes accélérations dans un repère cylindrique et on lui applique les contraintes géométriques ρ = L2 , ρ̇ = ρ̈ = 0. ¡ ¢ a = ρ̈ − ρ φ̇2 eρ + (ρ φ̈ + 2ρ̇ φ̇)eφ + z̈ez ↬ −→ L L a = − φ̇2 eρ + φ̈eφ 2 2 On a ainsi les accélérations dans les directions eρ et eφ . On identifie à présent à ces accélérations, les forces correspondantes dans chacune des directions : Selon eρ : Selon eφ : ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ L −M φ̇2 = −M g sin φ + N H sin φ + NV cos φ 2 ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ L M φ̈ = −M g cos φ + N H cos φ − NV sin φ 2 (4) (5) On a ainsi deux autres équations du mouvement. Question 3 : L’énergie mécanique de la barre est conservée, justifiez. Ecrivez explicitement l’énergie de la barre en fonction de l’angle d’inclinaison φ. Réponse 3 : L’énergie mécanique de la barre est conservée car on a ignoré toutes les forces non conservatives. Pour l’énergie potentiel on choisira le sol comme hauteur de référence et le point O comme origine pour calculer l’énergie cinétique. Il n’est pas possible de prendre l’origine du repère associé car il est en mouvement et l’énergie dépend du référentiel, qui ici est la surface de la Terre. L’énergie cinétique est donnée par la somme des énergies cinétiques de rotation et de translation du centre de masse, càd : 1 1 2 E cin = M VG + ω · IG ω 2 2 Dans notre cas, cela donne : E 1 En posant IG = 12 M L 2 , on obtient : cin µ ¶ 1 L 2 1 = M φ̇ + IG φ̇2 2 2 2 1 E cin = M L 2 φ̇2 6 https://ready4EPFL.ch 3 1 Exercice 1 – Examen 2009 L’ÉCHELLE MAL APPUYÉE Comme on désire l’énergie cinétique en fonction de l’angle φ, on substitue à φ̇2 sa valeur déduite de 4, ce qui donne : ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢¢ 1 ¡ E cin = L N H sin φ + NV cos φ − M g sin φ 3 (6) L’énergie potentiel est naturellement : ¡ ¢ 1 E pot = M g h = M g L sin φ 2 (7) https://ready4EPFL.ch 4