Accrochage à ressorts

Accrochage à ressort Exercice 2 – Examen 2009 1 Exercice – Accrochage à ressort Enoncé Sur un banc à air, deux plots entrent en collision. Avant la collision, un plot a la vitesse v i et l’autre plot est immobile. Il y a un mécanisme comprenant un ressort entre les deux plots. L’accrochage est assuré par un dispositif, supposé libre de frottement, qui maintient la compression du ressort. Seul le ressort emmagasine de l’énergie de déformation. Le ressort est d’une constante élastique k , de longueur au repos x 0 . Les deux plots avec leur dispositif ont chacun la même masse m . Fig. 1 – Schéma de l’exercice Q1 : Quelle est la vitesse du système composé des deux plots accrochés ? Justifiez votre réponse. Q2 : Quelle est la longueur x ressort du ressort après l’accrochage ? Q3 : Soient x 1 et x 2 les coordonnées repérant les positions des deux plots, libellés « 1 » et « 2 ». Appliquez la 2ème loi de Newton pour chaque plot. Q4 : Quelle est l’équation horaire du centre de masse du système formé des deux plots ? 1 1 EXERCICE – ACCROCHAGE À RESSORT Résolution Question 1 : Quelle est la vitesse du système composé des deux plots accrochés ? Justifiez votre réponse. Réponse 1 : Il n’y a pas de force externe agissant sur le système composé des masses m1 et m2 . Le système se déplace horizontalement dans le référentiel d’inertie terrestre. Je considère ce mouvement comme étant un mouvement en une dimension car verticalement « rien ne se passe » ! Je choisis un axe horizontal positif vers la droite. Je supposerai sans perte d’information que c’est le plot m1 qui se déplace et que c’est le plot m2 qui est à l’arrêt avant la collision. Sur le dessin, c’est le chariot 1 qui a le ressort. Je préfère imaginer que le ressort est maintenu à hauteur des plots par un système adéquat. Du point de vue de la quantité de mouvement, on peu poser que pavant = paprès . En projetant ces deux valeurs sur l’axe horizontal Ox , on obtient : m 1 v i + m 2 · 0 = (m 1 + m 2 )v f (1) d’où, en tenant compte du fait que m1 = m2 = m , la vitesse finale v f des deux blocs maintenus ensemble par le système d’ancrage est : 1 v f = vi 2 (2) Question 2 : Quelle est la longueur x ressort du ressort après l’accrochage ? Réponse 2 : On peut se poser la question de savoir s’il d’énergie lors de la collision. Si il est clair que ³ y a conservation ¡ 1 ¢2 ´ 1 1 2 l’énergie cinétique n’est pas conservée 2 mv i ̸= 2 (2m) 2 v i , on remarque qu’étant donné le caractère conservatif de la force de rappel d’un ressort, il y aura conservation d’énergie mécanique lors de la collision. Si l’on avait mis du chewing-gum à la place du ressort, la déformation de celui-ci ne se serait pas transformée en énergie potentiel comme c’est le cas avec le ressort. L’énergie potentiel du ressort pourra être récupérée pour effectué un travail mécanique par la suite. Ce qui n’est pas le cas avec le chewing-gum dont le déformation est irréversible. Ces constatations nous permettent d’affirmer que l’énergie mécanique est bel et bien conservée. Donc E mécanique.avant = E mécanique.après 09/07/2026 http://ready4EPFL.ch 2 1 EXERCICE – ACCROCHAGE À RESSORT Méthode I. Pour trouver la longueur du ressort après le choc on peut utiliser par exemple le théorème de l’énergie cinétique qui nous dit que : Z ∆x E cinétique finale − E cinétique initiale = ou encore 1 ∆x 2 − mv i2 = −k 4 2 ⇒ 0 ∆x = Le ressort mesura donc x ressort = x 0 − ∆x = x 0 − r r −kxdx (3) m vi 2k m vi 2k (4) Méthode II. La force de rappel du ressort étant une force conservative, on peut également utilisé la conservation de l’énergie mécanique pour trouver l’allongement du ressort. On applique le théorème de l’énergie mécamique : E mécanique.avant = E mécanique.après ⇒ E cinavant + E potavant = E cinaprès + E potaprès Ce qui donne : ³ v ´2 1 1 1 i mv i2 = (2m) + k · ∆x 2 2 2 2 2 d’où on calcule la longueur du ressort x 0 − ∆x . Cela donne naturellement x ressort = x 0 − ∆x = x 0 − r m vi 2k (5) (6) Question 3 : Soient x 1 et x 2 les coordonnées repérant les positions des deux plots, libellés « 1 » et « 2 ». Appliquez la 2e loi de Newton pour chaque plot. Réponse 3 : On commence par le diagramme des forces : Fig. 2 – Diagramme des forces 09/07/2026 http://ready4EPFL.ch 3 1 EXERCICE – ACCROCHAGE À RESSORT Selon l’axe O y , il n’y a rien d’intéressant, la force normale et la pesanteur s’annulent. Comme il n’y a pas de frottement sec, on a pas besoin de N. Selon l’axe Ox on trouve deux paires de forces égales et opposées, à savoir les forces de rappel (ou plutôt de repoussement) du ressort F1 et F2 et les forces T1 et T2 qui sont les forces créées par le système d’ancrage et qui maintiennent les deux chariots ensembles. Il faut bien comprendre que ces forces seraient identiques si les chariots avaient des masses différentes car elles sont dues au ressort et au système d’ancrage. On a par la troisième loi de Newton : ∥F1 ∥ = −∥F2 ∥ et ∥T1 ∥ = −∥T2 ∥ En appliquant la deuxième loi de Newton sur les deux masses (selon Ox ), on a la réponse à la question 3: m ẍ 1 = T1 − k∆x m ẍ 2 = −T2 + k∆x (7) Question 4 : Quelle est l’équation horaire du centre de masse du système formé des deux plots ? Réponse 4 : De 13 et de la troisième loi de Newton, on peut tirer deux grandeurs intéressantes à savoir que m ẍ 1 + m ẍ 2 = T1 − T2 − k∆x + k∆x = 0 m ẍ 1 − m ẍ 2 = T1 + T2 − k∆x − k∆x = 0 (8) (9) En d’autres termes, les grandeurs m ẍ 1 et m ẍ 2 sont identiquement nulles (avant, pendant et après le choc). Les masses des plots étant identiques. On peut écrire : m(ẍ 1 + ẍ 2 ) = 0 En intégrant une accélération, on obtient une vitesse. L’expression suivante est donc une quantité de mouvement m(ẋ 1 + ẋ 2 ) = cste La constante peut être choisie comme étant : m(ẋ 1 + ẋ 2 ) = mv i = 2m vi = 2mv f 2 (10) En intégrant une vitesse, on a obtient une position, m(x 1 + x 2 ) == 2mv f t + C 1 (11) En divisant par 2m , le membre de gauche devient la coordonnées du centre de gravité xG : x1 + x2 = v f t +C 2 2 (12) En choisissant un point initial à t = 0, on a l’équation horaire du centre de masse du système formé par les deux masses. 09/07/2026 http://ready4EPFL.ch 4 RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES xG (t ) = v f · t + xG (t = 0) (13) Références [1] Prof. Paolo Ricci Cours de physique avancée, EPFL 2018. [2] Prof. Ch. Gruber Mécanique générale, EPFL 2001. [3] Prof. Georges Meylan Cours de physique pour mathématiciens, EPFL 2007. [4] Prof. J.-Ph. Ansermet Mécanique, EPFL 2014. Michel Semon http://ready4EPFL.ch SPH 09/07/2026 http://ready4EPFL.ch 5